Question

【题目】在边长为4的等边△ABC中.

(1)如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=18°，求∠AQB的度数；

(2)点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．依题意将图2补全，并求证PA=PM．

(3)在(2)中，当AM的值最小时，直接写出CM的长.

Answer 1

【答案】（1）78°；（2）见解析；（3）2．

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，根据三角形外角的性质即可得到结论；
（2）如图2根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，由点Q关于直线AC的对称点为M，得到AQ=AM，∠OAC=∠MAC，等量代换得到∠MAC=∠BAP，推出△APM是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．
（3）因为AM=AP，所以当AP⊥BC时，AM的值最小，此时P、Q重合，由此即可解决问题；

（1）∵AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴∠APB=∠AQC，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BAP=∠CAQ=18°，
∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=78°；
（2）如图2，∵点Q关于直线AC的对称点为M，
∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，
∵∠BAP=∠CAQ，
∴∠MAC=∠BAP，
∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，
∴∠PAM=60°，
∵AP=AQ，
∴AP=AM，
∴△APM是等边三角形，

∴AP=PM．
（3）∵AM=AP，
∴当AP⊥BC时，AM的值最小，
∴此时P、Q重合，CM=CQ=QB=2．