Question

【题目】已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．

（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF．

①求证：BE＝AF；

②若S△BDE＝S△ABC＝2，求S△CDF；

（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF．

①BE＝AF还成立吗？请利用图②说明理由；

②若S△BDE＝S△ABC＝8，直接写出DF的长.

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②S△DFC＝4；（2）①结论成立．理由见解析；②DF＝4．

【解析】

（1）①只要证明△BDE≌△ADF（ASA）可得结论．
②求出△ADC，△ADF的面积即可解决问题．
（2）①结论成立，证明方法类似（1）．
②利用三角形的面积公式求出AB，再证明AB=2BE，求出DH，EH，利用勾股定理求出DE即可解决问题．

（1）①证明：如图①中，连接AD．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝DC，

∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD，∠B＝∠C＝∠DAC＝45°，

∵∠EDF＝∠BDA＝90°，

∴∠BDE＝∠ADF，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴BE＝DF．

②解：∵S△BDE＝S△ABC＝2，

∴S△BDE＝2，S△ABC＝12，

∵BD＝DC，

∴S△ADC＝S△ADC＝6，

∵△BDE≌△ADF，

∴S△ADF＝S△BDE＝2，

∴S△DFC＝6﹣2＝4．

（2）①证明：结论成立．

理由：如图②中，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝DC，

∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD，∠B＝∠C＝∠DAC＝45°，

∵∠EDF＝∠BDA＝90°，

∴∠BDE＝∠ADF，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴BE＝DF．

②解：如图②中，作DH⊥AB于H．

∵S△BDE＝S△ABC＝8，

∴S△ABC＝32，

∴AB2＝32，

∴AB＝AC＝8，BC＝8，DH＝AB＝4，

∵BD＝DC，

∴S△ABD＝S△ADC，

∴S△BDE＝S△ADB，

∴AB＝2BE，

∴BE＝BH＝AH＝4，

∴，

∴．