Question

【题目】阅读理解：若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字6，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“至善数”，如34的“至善数为364”；若将一个两位正整数M加6后得到一个新数，我们称这个新数为M的“明德数”，如34的“明德数为40”．

（1）30的“至善数”是　 　，“明德数”是　 　．

（2）求证：对任意一个两位正整数A，其“至善数”与“明德数”之差能被9整除；

（3）若一个两位正整数B的明德数的各位数字之和是B的至善数各位数字之和的一半，求B的最大值．

Answer 1

【答案】（1）360；36；（2）答案见解析；（3）84.

【解析】

（1）根据“至善数”和“明德数”的定义计算即可得答案；（2）设A的十位数字为a，个位数字为b，分别写出A的“至善数”和“明德数”，求差，化简，表示出9的倍数，即可证明；（3）设B的十位数字为a，个位数字为b，分别写出B的“至善数”和“明德数”的各个数位上的数字之和，“明德数”的个位可能存在进位，故分两类计算即可.

解：（1）在3和0之间添上数字6,

∴30的“至善数是360；“明德数“是30+6=36

故答案为：360；36．

（2）证明：设A的十位数字为a，个位数字为b

则其“至善数与“明德数“分别为：

100a+60+b；10a+b+6

它们的差为：

100a+60+b-（10a+b+6）

=90a+54

=9（10a+6）

∴其“至善数与“明德数“之差能被9整除．

（3）设B的十位数字为a，个位数字为b

则B的至善数的各位数字之和是a+6+b

B的明德数各位数字之和是a+b+6（当0≤b＜4时）或a+1+（6+b-10）（当4≤b≤9时）

由题意得：0≤b＜4时，a+b+6=（a+6+b）

∴a+b=-6，不符合题意；

当4≤b≤9时，a+1+（6+b-10）=（a+6+b）

∴a+b=12

∴当b=4，a=8时，B最大，最大值为84．