Question

如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．

（1）若D（2，3），请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为2：1；

（2）求∠D的正弦值；

（3）若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为__________．

Answer 1

【考点】作图—相似变换；三角形的外接圆与外心．

【分析】（1）根据网格结构，作出DE=2AB，EF=2BC，DF=2AC的三角形即可；

（2）作FG⊥DE于G，在Rt△DFG中利用正弦函数的定义即可求解；

（3）设点P的坐标为（x，y），根据“三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等”列出等式，化简即可得出点P的坐标．

【解答】解：（1）如下图所示，△DEF即为所求；

（2）如图，作FG⊥DE于G，

∵在Rt△DFG中，FG=2，DG=6，

∴DF===2，

∴sin∠D===；

（3）设点P的坐标为（x，y）；

∵△ABC外接圆的圆心为P，

∴PA=PB=PC，

∵A（1，8），B（3，8），C（4，7），

∴（1﹣x）²+（8﹣y）²=（3﹣x）²+（8﹣y）²=（4﹣x）²+（7﹣y）²，

化简后得x=2，y=6，

因此点P的坐标为（2，6）．

故答案为（2，6）．

【点评】本题考查了作图﹣相似变换，锐角三角函数的定义，勾股定理，三角形的外接圆与外心，两点间的距离公式，难度适中．