Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，AB=，∠B=120°，点E是AD边上的一个动点（不与A，D重合），EF∥AB交BC于点F，点G在CD上，DG=DE．若△EFG是等腰三角形，则DE的长为_____．

Answer 1

【答案】1或

【解析】

由四边形ABCD是菱形，得到BC∥AD，由于EF∥AB，得到四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到EF∥AB，于是得到EF=AB=，当△EFG为等腰三角形时，①EF=GE=时，于是得到DE=DG=AD÷=1，②GE=GF时，根据勾股定理得到DE=．

∵四边形ABCD是菱形，∠B=120°，

∴∠D=∠B=120°，∠A=180°-120°=60°，BC∥AD，

∵EF∥AB，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∴EF∥AB，

∴EF=AB=，∠DEF=∠A=60°，∠EFC=∠B=120°，

∵DE=DG，

∴∠DEG=∠DGE=30°，

∴∠FEG=30°，

当△EFG为等腰三角形时，

当EF=EG时，EG=，

如图1，

过点D作DH⊥EG于H，

∴EH=EG=，

在Rt△DEH中，DE==1，

GE=GF时，如图2，

过点G作GQ⊥EF，

∴EQ=EF=，在Rt△EQG中，∠QEG=30°，

∴EG=1，

过点D作DP⊥EG于P，

∴PE=EG=，

同①的方法得，DE=，

当EF=FG时，由∠EFG=180°-2×30°=120°=∠CFE，此时，点C和点G重合，点F和点B重合，不符合题意，

故答案为：1或．