Question

【题目】小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：

求解体验

(1)已知抛物线经过点(-1,0),则= ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点(0,1）成中心对称的抛物线的表达式是 .

抽象感悟

我们定义：对于抛物线,以轴上的点为中心，作该抛物线关于

点对称的抛物线 ,则我们又称抛物线为抛物线的“衍生抛物线”，点为“衍生中心”.

(2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求的取值范围.

问题解决

(3) 已知抛物线

①若抛物线的衍生抛物线为,两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求的值及衍生中心的坐标；

②若抛物线关于点的衍生抛物线为 ,其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…(为

正整数).求的长(用含的式子表示).

Answer 1

【答案】求解体验： ；顶点坐标是(-2,1)；；抽象感悟：；问题解决：①；（0，6）；②

【解析】(1)把(-1，0)代入 即可未出=-4，然后把抛物线解析式变为顶点式即可求得抛物线的顶点坐标，继而可得顶点关于（0，1）的对称点，从而可写出原抛物线关于点(0，1）成中心对称的抛物线的表达式；

（2）先求出抛物线 的顶点是（-1，6），从而求出 (-1，6)关于的对称点是，得 ，根据两抛物线有交点，可以确定方程 有解，继而求得m的取值范围即可；

(3) ①先求出抛物线以及抛物线的衍生抛物线为，的顶点坐标，根据两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求的值及再根据中点坐标公式即可求出衍生中心的坐标；

② 如图，设 ， … ， 与轴分别相于 ， … ， ，则 ，，… ， 分别关于 ， … ， 中心对称，由题意则可得 ， … 分别是△ ， … 的中位线，继而可得 ， ，… ，再根据点的坐标即可求得的长.

求解体验

(1)把(-1，0)代入 得，

∴，

∴顶点坐标是(-2，1)，

∵(-2，1)关于(0，1)的对称点是(2，1)，

∴成中心对称的抛物线表达式是：，

即 (如图)

抽象感悟

(2) ∵ ，

∴ 顶点是（-1，6），

∵ (-1，6)关于的对称点是，

∴ ，

∵ 两抛物线有交点，

∴ 有解，

∴ 有解，

∴ ，

∴ ；(如图)

问题解决

(3) ① ∵=，

∴ 顶点（-1，），

代入 得：①

∵ ，

∴ 顶点（1，），

代入 得：②

由① ② 得 ，

∵ ，，

∴ ，

∴ 两顶点坐标分别是（-1，0），（1，12），

由中点坐标公式得“衍生中心”的坐标是（0，6）；

② 如图，设 ， … ， 与轴分别相于 ， … ， ，

则 ，，… ， 分别关于 ， … ， 中心对称，

∴ ， … 分别是△ ， … 的中位线，

∴ ， ，… ，

∵ ， ，

∴ ].