Question

如图，已知抛物线的对称轴为直线l：x=4，且与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点C（0，2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究在此抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；

（3）以AB为直径作⊙M，过点C作直线CE与⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．

　

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）利用顶点式，根据待定系数法即可求得二次函数的解析式；

（2）线段BC的长即为AP+CP的最小值；

（3）连接ME，根据CE是⊙M的切线得到ME⊥CE，∠CEM=90°，从而证得△COD≌△MED，设OD=x，在RT△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得点D的坐标，然后利用待定系数法确定线段CE的解析式即可．

【解答】解：（1）如图1，由题意，设抛物线的解析式为：y=a（x﹣4）²+k（a≠0）

∵抛物线经过A（2，0）、C（0，2）．

∴，

解得：a=，．

∴，

即：．

令y=0，得x²﹣8x+12=0，

即（x﹣2）（x﹣6）=0，

∴x₁=2，x₂=6．

∴抛物线与x轴另﹣交于点B（6，0）．

（2）存在．

如本题图2，连接CB交l于点P，则点P即是使AP+CP的值最小的点．

∵A、B关于l对称，

∴AP=BP，

∴AP+CP=CB，即AP+CP的最小值为BC．

∵OB=6，OC=2，

∴．

∴AP+CP的最小值为；

（3）如图3，连接ME，

∵CE是⊙M的切线，

∴ME⊥CE，∠CEM=90°，

由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE．

在△COD与△MED中，

，

∴△COD≌△MED（AAS），

∴OD=DE，DC=DM，

设OD=x，则CD=DM=OM﹣OD=4﹣x，

则在Rt△COD中，

又∵OD²+OC²=CD²，

∴x²+2²=（4﹣x）²，

解得，

∴D（，0），

设直线CE的解析式为y=mx+b，

∵直线CE过C（0，2）、D（，0）两点，

∴，

解方程组得：．

∴直线CE的解析式为y=．

【点评】本题考查了二次函数的综合知识以及利用轴对称求最短路径和待定系数法求一次函数和二次函数解析式等知识，利用数形结合得出D点坐标是解题关键．