Question

5．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，-3）
（1）求此二次函数的解析式以及顶点D的坐标；
（2）如图①，过此二次函数抛物线图象上一动点P（m，n）（0＜m＜3）作y轴平行线，交直线BC于点E，是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，说明理由．
（3）如图②，过点A作y轴的平行线交直线BC于点F，连接DA、DB、四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点F重合时立即停止运动，求运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后化为顶点式即可求得顶点的坐标．
（2）先求得直线BC的解析式，设P（x，-x²+4x-3），则F（x，x-3），根据PF等于P点的纵坐标减去F点的纵坐标即可求得PF关于x的函数关系式，从而求得P的坐标和PF的最大值；
（3）线利用待定系数法求得直线AD的解析式为y=x-1，直线BC的解析式为：y=x-3，从而得到AD∥BC，且与x轴正半轴夹角均为45°，由平行于与y轴的直线上点的坐标特点可求得F（1，-2），从而可求得AF=2，由当点C与点F重合时立即停止运动，可知0≤t≤$\sqrt{2}$，由AF∥A′F′，AD∥C′B，可知四边形AFF′A′为平行四边形，根据由平行四边形的面积公式可知当t=$\sqrt{2}$时，重合部分的面积最大，设A′F′与x轴交于点K，依据特殊锐角三角函数值可求得AK=1．依据平行四边形的面积公式可求得重合部分的最大面积为2．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3），将点C的坐标代入得：3a=-3，
解得：a=-1．
∵将a=-1代入得：y=-（x-1）（x-3）=-x²+4x-3．
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x-3．
由抛物线的对称轴方程可知：x=-$\frac{b}{2a}=-\frac{4}{-1×1}$=2，
将x=2代入抛物线的解析式得：y=1．
∴点D的坐标为（2，1）．
（2）存在．
理由：设直线BE的解析式为y=kx+b．
将B（3，0），C（0，-3）代入上式，得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：k=1，b=-3．
则直线BC的解析式为y=x-3．
∵PE∥y轴，
∴点P与点E的横坐标均为m．
∵将x=m代入直线BC的解析式的y=m-3，
∴点E的坐标为（m-3）．
将x=m代入抛物线的解析式得y=-m²+4m-3，
∴点P的坐标为（m，-m²+4m-3）．
∴PE═-m²+4m-3-（m-3）=-m²+3m=-（m²-3m+$\frac{9}{4}$-$\frac{9}{4}$）=-（m-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{9}{4}$．
∴当m=$\frac{3}{2}$时，PE的长有最大值，最大值为$\frac{9}{4}$．
（3）如图所示：

∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，-3），
∴可求得直线AD的解析式为：y=x-1；直线BC的解析式为：y=x-3．
∴AD∥BC，且与x轴正半轴夹角均为45°．
∵AF∥y轴，
∴F（1，-2），
∴AF=2．
∵当点C与点F重合时立即停止运动，
∴0≤t≤$\sqrt{2}$．
∵AF∥A′F′，AD∥C′B，
∴四边形AFF′A′为平行四边形．
∵当AA′有最大值时，重合部分的面积最大．
∴当t=$\sqrt{2}$时，重合部分的面积最大．
设A′F′与x轴交于点K，则AK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AA′=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$=1．
∴S=S_?AFF′A′=AF•AK=2×1=2．
四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积S的最大值为2．

点评 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、最值、平行四边形、等腰直角三角形、图形面积计算等知识点．列出线段PE的表达式是解决问题（2）的关键，证得四边形AFF′A′为平行四边形是解答问题（3）关键．