Question

20．已知抛物线y=ax²+bx+4在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A（-1，0），B，P是其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，得出以下结论：
①2a+b=0，
②x=3是方程ax²+bx+4=0的一个根，
③△PAB周长的最小值是5+$\sqrt{17}$，
④9a+4＜3b．
其中正确的是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①根据对称轴方程求得a、b的数量关系；
②根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3；
③利用两点间直线最短来求△PAB周长的最小值；
④根据图象知，当x=-3时，y＜0，得到9a-3b+4＜0，即9a+4＜3b．

解答 解：①根据图象知，对称轴是直线x=-$\frac{b}{2a}$=1，则b=-2a，即2a+b=0．
故①正确；
②根据图象知，点A的坐标是（-1，0），对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），所以x=3是ax²+bx+3=0的一个根，故②正确；
③如图所示，点A关于x=1对称的点是A′，即抛物线与x轴的另一个交点．
连接BA′与直线x=1的交点即为点P，
则△PAB周长的最小值是（BA′+AB）的长度．
∵A（-1，0），B（0，4），A′（3，0），
∴AB=$\sqrt{17}$，BA′=5．即△PAB周长的最小值是5+$\sqrt{17}$．
故③正确；
④根据图象知，当x=-3时，y＜0，
∴9a-3b+4＜0，即9a+4＜3b，
故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④．
故选D．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质以及两点之间直线最短．解答该题时，充分利用了抛物线的对称性．