Question

16．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：
①PQ∥AE；②AD=BE；③DE=DP；④AP=BQ；⑤∠AOB=60°．
恒成立的结论有①②④⑤．（把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

分析 由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE； 由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知①正确；根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知③错误；根据全等三角形的性质得到对应边相等，然后根据线段的和差即可得到④正确；利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．

解答 解：∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCB=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，（故②正确）；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
在△CDP与△CEQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{CD=CE}\\{∠PCQ=∠QCE}\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴CP=CQ，
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
∴∠QPC=∠BCA，
∴PQ∥AE，（故①正确）；
∵DE＞QE，且DP=QE，
∴DE＞DP，（故③错误）；
∵△CDP≌△CEQ，
∴DP=QE，
∵△ADC≌△BEC
∴AD=BE，
∴AD-DP=BE-QE，
∴AP=BQ，（故④正确）；
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，找到不变量，是解题的关键．