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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点DDHAC于点H,连接DE交线段OA于点F.

(1)求证:DH是圆O的切线;

(2)若AEH的中点,求的值;

(3)若EA=EF=1,求圆O的半径.

【答案】(1)见解析;(2);(3)

【解析】试题分析:(1)根据同圆的半径相等和等边对等角证明:ODB=∠OBD=∠ACB,则DHODDH是圆O的切线;

(2)如图2,先证明E=∠B=∠C,则HEC的中点,设AE=xEC=4x,则AC=3x,由ODABC的中位线,得:OD=AC=,证明AEF∽△ODF,列比例式可得结论;

(3)如图2,设O的半径为r,即OD=OB=r,证明DF=OD=r,则DE=DF+EF=r+1,BD=CD=DE=r+1,证明BFD∽△EFA,列比例式为:,则,求出r的值即可.

(1)连接OD,如图1,∵OB=OD,∴△ODB是等腰三角形,OBD=∠ODB,在ABC中,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,由①②得:ODB=∠OBD=∠ACB,∴ODAC,∵DHAC,∴DHOD,∴DH是圆O的切线;

(2)如图2,在O中,∵∠E=∠B,∴由(1)可知:E=∠B=∠C,∴△EDC是等腰三角形,DHAC,且点AEH中点,设AE=xEC=4x,则AC=3x,连接AD,则在O中,ADB=90°,ADBD,∵AB=AC,∴DBC的中点,ODABC的中位线,ODACOD=AC=,∵ODAC,∴∠E=∠ODF,在AEFODF中,∵∠E=∠ODF,∠OFD=∠AFE,∴△AEF∽△ODF,∴,∴ =,∴ =

(3)如图2,设O的半径为r,即OD=OB=r,∵EF=EA,∴∠EFA=∠EAF,∵ODEC,∴∠FOD=∠EAF,则FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD,∴DF=OD=r,∴DE=DF+EF=r+1,∴BD=CD=DE=r+1,在O中,∵∠BDE=∠EAB,∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE,∴BF=BD,△BDF是等腰三角形,BF=BD=r+1,∴AF=ABBF=2OBBF=2r﹣(1+r)=r﹣1,在BFDEFA中,∵∠BDF=∠EFA,∠B=∠E,∴△BFD∽△EFA,∴,∴,解得:r1=r2=(舍),综上所述,O的半径为

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【题目】甲、乙两家商场都以m(m>1000)元的价格购进了10台电器,每台销售定价都为n.但在实际销售中,各自推出了优惠方案,甲商场规定:凡超过1000元的电器,超出的金额按90%收取;乙商场规定:凡超过500元的电器,超出的金额按95%收取.一段时间后,两家商场各自销售完了这10台电器,并且都有了盈利.

(1)如果销售完这10台电器,两家商场的盈利各多少元(结果用含mn的式子表示)?

(2)如果销售完这10台电器,两家商场的盈利相差多少元(结果用含mn的式子表示)?

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(2)△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2

(3)CD+CE=OA

(4)AD2+BE2=2OPOC其中正确的结论有(  

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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