Question

【题目】如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=a，点P在AD上，且AP=2，点E是边AB上的动点，以PE为边作直角∠EPF，射线PF交BC于点F，连接EF，给出下列结论：①tan∠PFE=；②a的最小值为10.则下列说法正确的是( )

A.①②都对B.①②都错C.①对②错D.①错②对

Answer 1

【答案】C

【解析】

①，利用矩形ABCD四个直角，再加上∠EPF为直角，联想到构造三垂直模型，故过F作AD垂线，垂足为G，即有△AEP∽△GPF，且相似比为1：2，即求得tan∠PFE．

②显然，若a要取最小值，则F、C要重合（G、D重合），又AE与PG为对应边，AE越小则PG（PD）越小，当AE=0时，PD=0最小，此时a=2．

解：过点F作FG⊥AD于点G

∴∠FGP=90°

∵矩形ABCD中，AB=4，∠A=∠B=90°

∴四边形ABFG是矩形，∠AEP+∠APE=90°

∴FG=AB=4

∵∠EPF=90°

∴∠APE+∠FPG=90°

∴∠AEP=∠FPG

∴△AEP∽△GPF

∴，故①正确；

如图2，当A、E重合，C、F重合，D、P重合时，AD最短，此时a=2，故②错误．

故选择：C.