Question

如图，△ABC中，O是内角平分线AD、BE、CF的交点．
（1）求证：∠BOC=90°+

1

2

∠A；
（2）过O作OG⊥BG于G，求证：∠DOB=∠GOC．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：证明题

分析：（1）利用角平分线的定义可得出∠OBC+∠OCB和∠A的关系，在△BOC中再利用内角和定理可得出结论；
（2）由外角的性质可得∠DOB=∠OBA+∠BAO，而∠GOC=90°-∠OCB，再利用三角形内角和定理可得出结论．

解答：证明：
（1）∵BE、CF是角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（180°-∠BAC）=90°-

1

2

∠BAC，
∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），
∴∠BOC=180°-90°+

1

2

∠BAC=90°+

1

2

∠BAC；
（2）在△ABO中，∠BOD=∠OBA+∠OAB=

1

2

（∠ABC+∠BAC），
在Rt△OGC中，∠GOC=90°-∠OCB=90°-

1

2

∠ACB，
又∵∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB，
∴

1

2

（∠ABC+∠BAC）=90°-

1

2

∠ACB，
∴∠DOB=∠GOC．

点评：本题主要考查三角形内角和定理及角平分线的定义，灵活利用三角形内角和定理是解题的关键．