Question

【题目】（阅读理解）设点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“和谐点”．例如：如图1，矩形ABCD中，若PA＝PD，则称P为边AD的“和谐点”．

（解题运用）已知，点P在矩形ABCD内部，且AB=10，BC=6．

（1）设P是边AD的“和谐点”，则P 边BC的“和谐点”（填“是”或“不是”）；

（2）若P是边BC的“和谐点”，连接PA，PB，当△PAB是直角三角形时，求PA的值；

（3）如图2，若P是边AD的“和谐点”，连接PA，PB，PD，求tan∠PAB· tan∠PBA的最小值．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）或；（3）

【解析】

（1）证明△PAB≌△PDC，即可得证；

（2）先得出P在AD和BC的垂直平分线上，过P作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，易证四边形PEAF为矩形，可得PF=3，根据PF⊥AB，得出PF2=AF·（AB-AF），设AF=x，解得x1=1，x2=9，然后即可得出答案；

（3）作PF⊥AB于F，由（2）可知PF=3，可得tan∠PAB·tan∠PBA==，设AF=x，则BF=10-x，可得AF·BF=（10-x）·x，可求出AF·BF的最大值，即可推出的最小值．

（1）是；

连接PB,PC

∵P是边AD的“和谐点”，

∴PA=PD，

∴∠PDA=∠PAD，

∵∠CDA=∠BAD=90°，

∴∠CDP=∠BAP，

∵AP=DP，AB=CD，

∴△PAB≌△PDC（SAS），

∴PB=PC；

（2）∵P是BC的和谐点，

∴P也是AD的和谐点，

∴PB=PC，PA=PD，

∴P在AD和BC的垂直平分线上，

过P作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，

易证四边形PEAF为矩形，

∴PF=AE，

又∵PA=PD，PE⊥AD，

∴AE=AD=3，

∴PF=3，

又∵△ABP为直角三角形，且P在矩形内部，

∴只能∠APB=90°，

又∵PF⊥AB，

∴PF2=AF·BF（射影定理），

∴PF2=AF·（AB-AF），

设AF=x，

∴x(10-x)=9，

x2-10x+9=0，

(x-1)(x-9)=0，

∴x1=1，x2=9，

当AF=9时 PA==，

AF=1时 PA==，

∴AF的值为或；

（3）作PF⊥AB于F，由（2）可知PF=3，

∴tan∠PAB=，tan∠PBA=，

∴tan∠PAB·tan∠PBA==

设AF=x，则BF=10-x，

∴AF·BF=（10-x）·x=-x2+10x=-（x-5）2+25，

当x=5时，AF·BF有最大值25，

∴有最小值是，

∴tan∠PAB·tan∠PBA的最小值是．