Question

14．如图，△ABC中，AB＞AC，延长CA至点G，边BC的垂直平分线DF与∠BAG的角平分线交于点D，与AB交于点H，F为垂足，DE⊥AB于E．下列说法正确的是③．（填序号）
①BH=FC；②∠GAD=$\frac{1}{2}$（∠B+∠HCB）；③BE-AC=AE；④∠B=∠ADE．

Answer 1

分析 根据线段垂直平分线的性质得到BH=CH，BF=CF，由于CH＞CF，于是得到BH＞CF，故①错误；根据角平分线的性质和三角形的外角的性质得到∠GAD=$\frac{1}{2}∠$GAB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），由于∠ACB＞∠HCB，于是得到∠GAD$＞\frac{1}{2}$（∠B+∠HCB），故②错误；过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，推出DN=DF，DB=DC，根据HL证Rt△DBF≌R△DCN，推出BF=CN，根据HL证Rt△DFA≌Rt△DNA，推出AN=AF，于是得到BE=AC+AN=AC+AE，即BE-AC=AE，故③正确；根据余角的性质得到∠ABC=∠HDE，故④错误．

解答 证明：∵DF垂直平分BC，
∴BH=CH，BF=CF，
∵CH＞CF，
∴BH＞CF，故①错误；
∵∠GAB=∠ABC+∠ACB，AD平分∠GAB，
∴∠GAD=$\frac{1}{2}∠$GAB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
∵∠ACB＞∠HCB，
∴∠GAD$＞\frac{1}{2}$（∠B+∠HCB），故②错误；
过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，
则DN=DE，DB=DC，
又∵DF⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DEB=∠DNC=90°，
在Rt△DBE和Rt△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{DE=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△DBE≌Rt△DCN（HL），
∴BE=CN，
在Rt△DEA和Rt△DNA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEA≌Rt△DNA（HL），
∴AN=AE，
∴BE=AC+AN=AC+AE，
即BE-AC=AE，故③正确；
∵DE⊥AB，
∴∠HDE+∠DHE=∠HBF+∠BHF=90°，
∵∠ABC=∠HDE，故④错误．
故答案为：③．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，会添加适当的辅助线，会利用中垂线的性质找出全等的条件是解此题的关键．