Question

18．如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于点A（m，-2）
（1）求k的值并直接写出两个函数图象的另一个交点的坐标；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移$\sqrt{5}$个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先把A（m，-2）坐标代入正比例函数y=2x求出m的值，故可得出A点坐标，再代入反比例函数的解析式求出k的值，根据正比例函数与反比例函数的图象关于原点对称可得出另一个交点的坐标；
（2）直接根据两函数图象的交点坐标可得出结论；
（3）根据勾股定理求出OA的长，再由图形平移的性质得出CB=OA，求出C点坐标，由勾股定理求出OC的长，由此可得出结论．

解答 解：（1）∵A（m，-2）在y=2x上，
∴-2=2m，
∴m=-1，
∴A（-1，-2），
又∵点A在y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=2，
∴解析式为y=$\frac{2}{x}$；另一个交点为（1，2）

（2）观察图象可知自变量x的取值范围为-1＜x＜0或x＞1；

（3）四边形OABC是菱形．
证明：∵A（-1，-2），
∴OA=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵由题意知：CB∥OA且CB=$\sqrt{5}$，
∴CB=OA，
∴四边形OABC是平行四边形．
∵C（2，n）在y=$\frac{2}{x}$上，
∴n=1，
∴C（2，1），OC=$\sqrt{5}$，
∴OC=OA，
∴四边形OABC是菱形．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、正比例函数的性质、菱形的判定等知识，根据题意得出m的值是解答此题的关键．