Question

8．已知：m、n是方程x²-6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=-x²+bx+c的图象经过点A（-m，0）、B（0，n）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）如图，设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）先解方程x²-6x+5=0求出m、n得到A点和B点，然后利用待定系数法可求出抛物线解析式，
（2）把（1）中解析式配成顶点式可得D点坐标，通过解方程-x²+4x+5=0可得C点坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，接着作DE∥y轴交BC于E，如图1，则E点坐标为（2，3），然后根据三角形面积公式，利用S_△BCD=S_△BDE+S_△CDE进行计算即可；
（3）如图2，PH交BC于Q，设P（t，0），根据一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，设Q（t，-t+5），H（t，-t²+4t+5），PC=5-t，QP=-t+5，HQ=-t²+5t，然后分类讨论：分别利用S_△PCQ：S_△HQC=2：3或S_△PCQ：S_△HQC=3：2列关于t的方程，然后分别解关于t的方程，从而得到P点坐标．

解答 解：（1）解方程x²-6x+5=0得m=1，n=5，则A（-1，0），B（0，5），
把A（-1，0），B（0，5）代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c+0}\\{c=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=5}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=-x²+4x+5；
（2）y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，则D（2，9），
解方程-x²+4x+5=0得x₁=-1，x₂=5，则C（5，0），
设直线BC的解析式为y=px+q，
把C（5，0），B（0，5）代入得$\left\{\begin{array}{l}{5p+q=0}\\{q=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-1}\\{q=5}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-x+5，
作DE∥y轴交BC于E，如图1，则E点坐标为（2，3），
∴S_△BCD=S_△BDE+S_△CDE=$\frac{1}{2}$×（9-3）×5=15；
（3）如图2，PH交BC于Q，设P（t，0），则Q（t，-t+5），H（t，-t²+4t+5），
∴PC=5-t，QP=-t+5，HQ=-t²+4t+5-（-t+5）=-t²+5t，
若S_△PCQ：S_△HQC=2：3时，则$\frac{\frac{1}{2}（5-t）（-t+5）}{\frac{1}{2}（5-t）（-{t}^{2}+5t）}$=$\frac{2}{3}$，
整理得2t²-13t+15=0，解得t₁=$\frac{3}{2}$，t₂=5（舍去），此时P点坐标为（$\frac{3}{2}$，0）
若S_△PCQ：S_△HQC=3：2时，则$\frac{\frac{1}{2}（5-t）（-t+5）}{\frac{1}{2}（5-t）（-{t}^{2}+5t）}$=$\frac{3}{2}$，
整理得3t²-17t+10=0，解得t₁=$\frac{2}{3}$，t₂=5（舍去），此时P点坐标为（$\frac{2}{3}$，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（$\frac{2}{3}$，0）或（$\frac{3}{2}$，0）．

点评 本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数解析式；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质，记住三角形面积公式；会运用分类讨论的思想解决数学问题．