Question

17．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=2AD，点E是OD的中点，连接AE．
（1）求证：AE⊥BD；
（2）若BD=8，AC=12，求?ABCD的面积以及AB，CD两条平行线间的距离．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AC=2OA，再证明OA=AD，由E为OD的中点，由等腰三角形的三线合一性质即可证出AE⊥BD；
（2）由已知条件得出OA、OE的长，由勾股定理求出AE，求出?ABCD的面积=2S_△ABD=32$\sqrt{2}$，得出△ABD的面积=16$\sqrt{2}$，设AB，CD两条平行线间的距离为x，由勾股定理求出AB，在由△ABD的面积求出x即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OA，
∵AC=2AD，
∴OA=AD，
又∵E为OD的中点，
∴AE⊥BD；
（2）解：∵BD=8，
∴OE=2，BE=6，
∵AC=12，
∴AO=6，
∴AE=$\sqrt{A{O}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴?ABCD的面积=2S_△ABD=2×$\frac{1}{2}$×BD•AE=8×4$\sqrt{2}$=32$\sqrt{2}$，
∴△ABD的面积=16$\sqrt{2}$，
设AB，CD两条平行线间的距离为x，
∵AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
则$\frac{1}{2}$x•AB=16$\sqrt{2}$，
即$\sqrt{17}$x=16$\sqrt{2}$，
∴x=$\frac{16}{17}$$\sqrt{34}$，即AB，CD两条平行线间的距离为$\frac{16}{17}$$\sqrt{34}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；由等腰三角形的三线合一性质得出AE⊥BD，并运用勾股定理和计算△ABD的面积使问题（2）得到解决．