Question

18．如图，⊙O的半径为1，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，AC=2，BD=3，P为半圆上一点，则△PCD面积的最小值是（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{9}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{4}$
• D． $\frac{{5-\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 由CD是固定的，所以当P到CD的距离最小时△PCD的面积最小，过P作EF∥CD，交AC于点E，交BD于点F，当EF与⊙O相切时，P到CD的距离最短，连接OP并延长交CD于点Q，过O作OH∥BD，交EF于点G，交CD于点H，则可知OH为梯形ABCD的中位线，OG为梯形ABFE的中位线，可求得OH，过C作CM⊥BD于点M，可求得CD=EF=$\sqrt{5}$，由切线长定理可知AE=EP，BF=PF，可得AE+BF=EF=$\sqrt{5}$，可求得OG=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，可求得GH的长度，又因为OP=1，可求得PQ的长度，可求得△PCD的面积，可得出答案．

解答 解：∵CD是定值，所以当P到CD的距离最小时△PCD的面积最小，
过P作EF∥CD，交AC于点E，交BD于点F，
当EF与⊙O相切时，P到CD的距离最短，连接OP并延长交CD于点Q，
过O作OH∥BD，交EF于点G，交CD于点H，
则可知OH为梯形ABDC的中位线，OG为梯形ABFE的中位线，
∴OH=$\frac{1}{2}$（AC+BD）=2.5，
过C作CM⊥BD于点M，则CM=AB=2，MD=BD-AC=1，
∴CD=EF=$\sqrt{5}$，
由切线长定理可知AE=EP，BF=PF，
∴AE+BF=EF=$\sqrt{5}$，
∴OG=$\frac{1}{2}$（AE+BF）=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴GH=OH-OG=2.5-$\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，
又∵OP=1，且$\frac{OP}{PQ}$=$\frac{OG}{GH}$，
∴$\frac{1}{PQ}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}$，
∴PQ=$\sqrt{5}$-1，
∴S_△PCD=$\frac{1}{2}$PQ•CD=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{5}-1$）×$\sqrt{5}$=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$．
故选D．

点评 本题主要考查切线的性质及平行线分线段成比例、梯形的中位线等知识，确定出△PCD面积最小时的点P的位置是解题的关键．在求PQ的长时注意梯形中位线及线段成比例的应用．