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【题目】如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)概念理解:如图2,在四边形中,,问四边形是垂美四边形吗?请说明理由;

(2)性质探究:如图1,四边形的对角线交于点.

试证明:

(3)解决问题:如图3,分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形,连结.已知,求的长.

【答案】(1)是,理由见解析; (2)见解析;(3

【解析】

1)根据垂直平分线的判定定理证明即可;
2)根据垂直的定义和勾股定理解答即可;
3)根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合(2)的结论计算.

解:(1)是

理由:

的垂直平分线上.

的垂直平分线上.

垂直平分.

∴四边形为垂美四边形.

2)如图2,连接ACBD

.

.

.

3)连接CGBE
∵∠CAG=BAE=90°
∴∠CAG+BAC=BAE+BAC,即∠GAB=CAE
在△GAB和△CAE中,

∴△GAB≌△CAESAS),
∴∠ABG=AEC,又∠AEC+AME=90°
∴∠ABG+AME=90°,即CEBG
∴四边形CGEB是垂美四边形,
由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2

AC=AB=2CG=BE=

GE2=CG2+BE2-CB2=13
GE=.

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