Question

△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．
（1）如图a所示，当点D在线段BC上时，
①求证：△AEB≌△ADC；
②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；
（2）如图b所示，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,平行四边形的判定,菱形的判定

专题：证明题

分析：（1）①根据等边三角形的性质得AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，利用等量减等量差相等可得到∠DAC=∠BAE，则可根据“SAS”证明△ABE≌△ADC；
②由△ABC和△DE都是等边三角形得到∠ACB=∠BAC=60°，由△ABE≌△ADC得到∠ABE=∠ACD=60°，则∠ABE=∠BAC，根据平行线的判定得到BE∥AC，
加上EG∥BC，于是根据平行四边形的判定方法得到四边形BCGE为平行四边形；
（2）与（1）一样可证得△ABE≌△ADC，得到BE=CD；与（1）一样可证得四边形BCGE为平行四边形，根据菱形的判定方当BC=BE时，四边形BCGE是菱形，
此时BC=CD，所以有DC=BC时，四边形BCGE是菱形．

解答：（1）①证明：∵△ABC和△DE都是等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，
∴∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD，即∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，

AB=AC ∠BAE=∠DAC AE=AD

，
∴△ABE≌△ADC（SAS）；
②四边形BCGE是平行四边形．理由如下：
∵△ABC和△DE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°，
∵△ABE≌△ADC，
∴∠ABE=∠ACD=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴BE∥AC，
∵EG∥BC，
∴四边形BCGE为平行四边形；
（2）当点D运动到DC=BC时，四边形BCGE是菱形．理由如下：
与（1）一样可证得△ABE≌△ADC，则BE=CD；
与（1）一样可证得四边形BCGE为平行四边形，
∴当BC=BE时，四边形BCGE是菱形，
此时BC=CD，
即当DC=BC时，四边形BCGE是菱形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定和菱形的判定．