【题目】如图,已知一张长方形纸片,AB=CD=a,AD=BC=b(a<b<2a).
将这张纸片沿着过点A的折痕翻折,使点B落在AD边上的点F,折痕交BC于点E,将折叠后的纸片再次沿着另一条过点A的折痕翻折,点E恰好与点D重合,此时折痕交DC于点G.
(1)在图中确定点F、点E和点G的位置;
(2)连接AE,则∠EAB= °;
(3)用含有a、b的代数式表示线段DG的长.
【答案】(1)点F、点E和点G的位置如图所示;见解析;(2)∠EAB=45°;(3)DG=a﹣b+.
【解析】
(1)作出∠BAD的平分线即为折痕AE,过B作AE的垂线,与AD的交点即为点F,作出∠DAE的平分线,与CD的交点即为点G;
(2)由折叠的性质得到∠DAE=∠EAB,根据矩形的性质得到∠BAD=∠DAE+∠EAB=90°,根据等腰直角三角形的性质得到结论;
(3)由折叠的性质得到DG=EG,设CG=x,则DG=EG=a-x,根据勾股定理列方程即可得到结论.
(1)点F、点E和点G的位置如图所示;
(2)由折叠的性质得:∠DAE=∠EAB,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=90°,
∴∠EAB=45°,
故答案为:45;
(3)由折叠的性质得:DG=EG,
∵∠ABE=90°,∠EAB=45°,
∴∠AEB=45°,
∴BE=AB=a,
∴CE=b﹣a,
设CG=x,则DG=EG=a﹣x,
在Rt△CEG中,CG2+CE2=EG2,
即x2+(b﹣a)2=(a﹣x)2,
解得:x=,
∴DG=a﹣x=a﹣=a﹣b+.
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【题目】如图,已知ABCD中,∠ABC=60°,AB=4,BC=m,E为BC边上的动点,连结AE,作点B关于直线AE的对称点F.
(1)若m=6,①当点F恰好落在∠BCD的平分线上时,求BE的长;
②当E、C重合时,求点F到直线BC的距离;
(2)当点F到直线BC的距离d满足条件:2﹣2≤d≤2+4,求m的取值范围.
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【题目】在△ABC中,点A到直线BC的距离为d,AB>AC>d,以A为圆心,AC为半径画圆弧,圆弧交直线BC于点D,过点D作DE∥AC交直线AB于点E,若BC=4,DE=1,∠EDA=∠ACD,则AD=__________.
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【题目】已知在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,以AD为对角线作正方形AEDF,DE交AB于点M,DF交AC于点N,连结EF,EF分别交AB、AD、AC于点G、点O、点H.
(1)求证:EG=HF;
(2)当∠BAC=60°时,求的值;
(3)设,△AEH和四边形EDNH的面积分别为S1和S2,求的最大值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(0,2)、(1,0),顶点C在函数y=x2+bx-1的图象上,将正方形ABCD沿x轴正方向平移后得到正方形A′B′C′D′,点D的对应点D′落在抛物线上,则点D与其对应点D′之间的距离为 ______.
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【题目】已知关于x的方程x2﹣(2m﹣1)x+m2+1=0有两个不相等实数根x1,x2
(1)求实数m的取值范围;
(2)若x12+x22=x1x2+3时,求实数m的值.
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【题目】有七张正面分别标有数字:﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3的卡片,除数字外其余全部相同,现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数字为m,则使关于x的方程x2﹣2(m﹣1)x+m2﹣3m=0有实数根,且不等式组无解的概率是_____.
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【题目】如图1,都是等腰直角三角形,,且,点在 上,连接.
(1)如果,①求;②若是关于的方程的两个实数根,求的值;
(2)如图2,将绕点逆时针旋转,使,连接,求五边形的面积.
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