Question

【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，若|ax2+bx+c|=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是____．

Answer 1

【答案】k=0或k＞2．

【解析】

先根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|的图象，即可得出|ax2＋bx＋c|＝k（k≠0）有两个不相等的实数根时，k的取值范围．

解：∵当ax2＋bx＋c≥0，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴上方，

∴此时y＝|ax2＋bx＋c|＝ax2＋bx＋c，

∴此时y＝|ax2＋bx＋c|的图象是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴上方部分的图象．

∵当ax2＋bx＋c＜0时，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴下方，

∴此时y＝|ax2＋bx＋c|＝－(ax2＋bx＋c)，

∴此时y＝|ax2＋bx＋c|的图象是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴下方部分与x轴对称的图象．

∵y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点纵坐标是－2，

∴函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是2，

∴y＝|ax2＋bx＋c|的图象如右图．

∵观察图象可得当k≠0时，

函数图象在直线y＝2的上方时，纵坐标相同的点有两个，

函数图象在直线y＝2上时，纵坐标相同的点有三个，

函数图象在直线y＝2的下方时，纵坐标相同的点有四个，

∴若|ax2＋bx＋c|＝k有两个不相等的实数根，

则函数图象应该在y＝2的上边，

故k＝0或k＞2．