Question

15．如图，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，过点A的直线y=x+2交y轴于D，交抛物线于P点．
（1）求点D的坐标；
（2）求△PAC的外接圆的直径长．

Answer 1

分析 （1）令x=0，求得直线y=x+2交y轴的交点D；
（2）求得抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x-2与y轴的交点C，进一步把抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x-2与直线y=x+2联立方程组求得A、P两点的坐标，利用勾股定理求得AP、AC、PC，根据勾股定理逆定理判定△PAC的形状，进一步求得外接圆的直径长即可．

解答 解：（1）令x=0，则y=x+2=2，
则点D坐标为（0，2）；
（2）令x=0，则抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x-2与y轴的交点C为（0，-2），
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{1}{2}x-2}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=10}\end{array}\right.$，
因此点A坐标为（-2，0），P点的坐标为（8，10），
则AC=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，AP=$\sqrt{1{0}^{2}+1{0}^{2}}$=10$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{{8}^{2}+1{2}^{2}}$=4$\sqrt{13}$，
∵AC²+AP²=8+200=208，PC²=208，
∴AC²+AP²=PC²，
∴△PAC为直角三角形，且PC为斜边，
∴△PAC的外接圆的直径长为4$\sqrt{13}$．

点评 此题考查抛物线与x轴的交点，勾股定理、勾股定理逆定理的运用，三角形的外交圆的性质，求得△PAC三个顶点坐标，求得三边长是解决问题的关键．