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    4．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
    原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
    （1）思路梳理
    ∵AB=AD，
    ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
    ∵∠ADC=∠B=90°，
    ∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．
    根据SAS，易证△AFG≌△AFE，得EF=BE+DF．
    （2）类比引申
    如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系∠B+∠D=180°时，仍有EF=BE+DF．
    （3）联想拓展
    如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．

    分析 （1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，根据全等得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，求出∠FAG=∠FAE，证出△AFG≌△AFE即可；
    （2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，根据全等得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，求出∠FAG=∠FAE，证出△AFG≌△AFE即可；
    （3）把△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，连接EG，根据全等得出AD=AG，BD=CG，∠B=∠ACG，∠BAD=∠C，求出∠B=45°，∠ECG=90°，∠DAE=∠FEAG，证出△DAE≌△GAE，根据全等得出DE=EG即可．

    解答 解：（1）∵AB=AD，
    ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
    ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
    ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
    ∴∠FAG=∠DAF+∠DAG=∠DAF+∠BAE=90°-45°=45°，
    ∴∠FAG=∠FAE，
    ∵∠ADC=∠B=90°，
    ∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
    在△AFG和△AFE中
    $\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠FAG=∠FAE}\\{AF=AF}\end{array}\right.$
    ∴△AFG≌△AFE（SAS），
    ∴EF=FG=BE+DF，
    故答案为：SAS，△AFE；

    （2）
    当∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF，
    理由是：∵AB=AD，
    ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
    ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
    ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
    ∴∠FAG=∠DAF+∠DAG=∠DAF+∠BAE=90°-45°=45°，
    ∴∠FAG=∠FAE，
    ∵∠B+∠ADC=180°，
    ∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
    在△AFG和△AFE中
    $\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠FAG=∠FAE}\\{AF=AF}\end{array}\right.$
    ∴△AFG≌△AFE（SAS），
    ∴EF=FG=BE+DF，
    故答案为：∠B+∠D=180°；

    （3）
    BD2+CE2=DE2，
    理由是：∵AB=AC，
    ∴把△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，连接EG，
    ∴AD=AG，BD=CG，∠B=∠ACG，∠BAD=∠CAG，
    ∵在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AB=AC，
    ∴∠B=°，
    ∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=45°+45°=90°，
    ∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
    ∴∠EAG=∠CAE+∠CAG=∠CAE+∠BAD=90°-45°=45°，
    ∴∠DAE=∠FEAG，
    在△DAE和△GAE中
    $\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠DAE=∠GAE}\\{AD=AG}\end{array}\right.$
    ∴△DAE≌△GAE（SAS），
    ∴DE=EG，
    在Rt△ECG中，由勾股定理得：EG2=CE2+CG2，
    即BD2+CE2=DE2．

    点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，证明过程类似．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    14．如图，长方形ABCD中，AB=CD=10cm，BC=AD=8侧面，动点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动到D停止，动点Q从点D出发，沿D→C→B→A路线运动到A停止．若P、Q同时出发，点P速度为2cm/s，点Q速度为1cm/s，6s后点Q改变速度为2cm/s，点P速度不变．
    （1）求点P出发几秒后到达终点D．
    （2）求点Q出发几秒后到达终点A．
    （3）直接写出当点Q出发几秒时，点P、Q在运动路线上相距的路程为25cm．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    15．△ABC中，∠B＞∠C，∠BAC的平分线交BC于点D，设∠B=x，∠C=y．

    （1）如图1，若AE⊥BC于点E，试用x、y表示∠EAD，并说明理由．
    （2）如图2，若点F是AD延长线上的一点，∠BAF、∠BDF的平分线交于点G，则∠G=$\frac{1}{2}$x．（用x、y表示）

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    12．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
    探究一：如图1，在△ABC中，已知O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+
    $\frac{1}{2}$∠A，理由如下：
    ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
    ∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB
    ∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A
    ∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A
    （1）探究2：如图2中，已知O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？并说明理由．
    （2）探究3：如图3，已知O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）结论：∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
    （3）拓展：在四边形ABCD中，已知O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）结论：∠BOC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    19．已知：线段a，b．求作：△ABC，使AB=AC=b，且BC边上的高AD=a（不写作法，只保留作图痕迹）

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    9．化简并求值．4（x-1）-2（x2+1）-$\frac{1}{2}$（4x2-2x），其中x=2．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    16．下面是某同学给出一种证法，请你将解答中缺少的条件、结论或证明理由补充完整：
    证明：∵CD与EF相交于点H（已知） 
    ∴∠1=∠2（对顶角相等） 
    ∵AB∥CD（已知）
    ∴∠2=∠EGB（两直线平行，同位角相等）
    ∵GN是∠EGB的平分线，（已知）
    ∴∠4=$\frac{1}{2}$∠BGE （角平分线定义）
    ∵∠1=∠2，∠2=∠EGB（已证）
    ∴∠1=∠EGB（等量代换）
    ∵$∠4=\frac{1}{2}$∠EGB（已证）  
    ∴∠4=$\frac{1}{2}$∠1（等量代换）

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    13．某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元．
    （1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
    （2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润不少于750元，且不超过760元，请你通过计算求出该商场所有的进货方案；
    （3）在“五•一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：
    打折前一次性购物总金额优惠措施
    不超过300元不优惠
    超过300元且不超过400元售价打九折
    超过400元售价打八折
    按上述优惠条件，若贝贝第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品各多少件？

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    1．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，D是边BC延长线上一点，E是边AC上一点，且∠EBC=∠D，设CE=x，CD=y．
    （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
    （2）若以E为圆心AE为半径的⊙E与以C为圆心CD为半径的⊙C相切，求CE的长．
    （3）若S△ABD=4S△ABE（即△ABD的面积是△ABE面积的4倍），求CE的长．

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