Question

1．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，D是边BC延长线上一点，E是边AC上一点，且∠EBC=∠D，设CE=x，CD=y．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）若以E为圆心AE为半径的⊙E与以C为圆心CD为半径的⊙C相切，求CE的长．
（3）若S_△ABD=4S_△ABE（即△ABD的面积是△ABE面积的4倍），求CE的长．

Answer 1

分析 （1）根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，然后根据两组角对应相等，两三角形相似求出△BCE和△DBA相似，再根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解；
（2）分两圆内切和外切两种情况，利用圆心距的关系列出方程然后求解即可；
（3）过点A作AF⊥BC于F，过点E作EH⊥BC于H，设AF=h，根据△ACF和△ECH相似，利用相似三角形对应边成比例用h表示出EH，再分别表示出S_△ABD和S_△ABE，然后列出方程求解即可．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠EBC=∠D，
∴△BCE∽△DBA，
∴$\frac{BC}{DB}$=$\frac{CE}{BA}$，
即$\frac{4}{4+y}$=$\frac{x}{6}$，
∴y=$\frac{24}{x}$-4；

（2）⊙E与⊙C相切分内切和外切两种情况，
①若两圆内切，则AE-CD=CE，
所以，6-x-（$\frac{24}{x}$-4）=x，
整理得，x²-5x+12=0，
∵△=（-5）²-4×12=-23＜0，
∴无解，
或CD-AE=CE，
所以，$\frac{24}{x}$-4-（6-x）=x，
整理得，10x=24，
解得x=2.4，
②若两圆外切，则AE+CD=CE，
所以，6-x+$\frac{24}{x}$-4=x，
整理得，x²-x-12=0，
解得x₁=-3（舍去），x₂=4，
综上所述，两圆相切时，CE=2.4或4；

（3）如图，过点A作AF⊥BC于F，过点E作EH⊥BC于H，设AF=h，
易得△ACF∽△ECH，
所以，$\frac{EH}{AF}$=$\frac{CE}{AC}$，
即$\frac{EH}{h}$=$\frac{x}{6}$，
解得EH=$\frac{hx}{6}$，
所以，S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AF=$\frac{1}{2}$（4+$\frac{24}{x}$-4）•h，
S_△ABE=S_△ABC-S_△BCE=$\frac{1}{2}$BC•AF-$\frac{1}{2}$BC•EH，
=$\frac{1}{2}$×4•h-$\frac{1}{2}$×4•$\frac{hx}{6}$，
=2h-$\frac{hx}{3}$，
∵S_△ABD=4S_△ABE，
∴$\frac{1}{2}$（4+$\frac{24}{x}$-4）•h=4×（2h-$\frac{hx}{3}$），
整理得，x²-6x+9=0，
解得x₁=x₂=3，
即CE的长为3．

点评 本题是圆的综合题型，主要利用了等边对等角的性质，相似三角形的判定与性质，圆与圆相切的圆心距与两圆的半径的关系，三角形的面积，难点在于（2）要分内切与外切两种情况讨论，（3）作辅助线构造出相似三角形并分别表示出S_△ABD和S_△ABE．