Question

6．如图，在△ABC中，己知AB=AC=5，BC=6，且将△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当点E运动到什么位置时，线段AM最短？并求出此时AM的值．（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM=∠BAE，则可证得：△ABE∽△ECM；
（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；
（3）先设BE=x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM=-$\frac{1}{5}$（x-3）²+$\frac{9}{5}$，利用二次函数的性质，继而求得线段AM的最小值．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；

（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM；
当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，
∴CE=AB=5，
∴BE=BC-EC=6-5=1，
当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{AC}{BC}$，
∴CE=$\frac{A{C}^{2}}{CB}$=$\frac{25}{6}$，
∴BE=6-$\frac{25}{6}$=$\frac{11}{6}$；
∴BE=1或$\frac{11}{6}$；

（3）解：设BE=x，
又∵△ABE∽△ECM，
∴$\frac{CM}{BE}$=$\frac{CE}{AB}$，
即：$\frac{CM}{x}$=$\frac{6-x}{5}$，
∴CM=-$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{6}{5}$x=-$\frac{1}{5}$（x-3）²+$\frac{9}{5}$，
∴AM=-5-CM=$\frac{1}{5}$（x-3）²+$\frac{16}{5}$，
∴当x=3时，AM最短为$\frac{16}{5}$，
∴BE=3时，AM最短为$\frac{16}{5}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键．