Question

5．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上一点，且ED⊥DF，求证：BE+CF＞EF．
小明发现，延长FD到点H，使DH=FD，连结BH、EH，构造△BDH和△EFH，通过证明△BDH与△CDF全等、△EFH为等腰三角形，利用△BEH使问题得以解决（如图2）．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在矩形ABCD中，O为对角线AC中点，将矩形ABCD翻折，使点B恰好与点O重合，EF为折痕，猜想EF、AE、FC之间的数量关系？并证明你的猜想．

Answer 1

分析 猜想：EF²=AE²+CF²，延长EO交CD于点H，连结FH，首先证明△AEO≌△CHO，进而可得EO=HO，CH=AE，由折叠的性质可得△EFO≌△EFB，所以∠EOF=∠B=90°，继而在△FCH中，由勾股定理得FH²=CH²+FC²，即EF²=AE²+CF²问题得证．

解答 解：
猜想：EF²=AE²+CF²，
理由如下：延长EO交CD于点H，连结FH．
∵四边形ABCD是矩形
∴AB∥DC．∠B=90°
∴∠EAO=∠HCO．
∵O为对角线AC中点，
∴AO=CO．
∵∠BOE=∠COH，
∴△AEO≌△CHO．
∴EO=HO，CH=AE，
由题意可知△EFO≌△EFB．
∴∠EOF=∠B=90°．
∴OF垂直平分EH．
∴FH=EF
在△FCH中，由勾股定理得FH²=CH²+FC²，
∴EF²=AE²+CF²．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质勾股定理的运用以及折叠的性质，解题的关键是正确条件辅助线构造全等三角形．