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【题目】在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(0,4),B(2,0),C(-2,0)三点.

(1)求二次函数的表达式;

(2)x轴上有一点D(-4,0),将二次函数的图象沿射线DA方向平移,使图象再次经过点B.

①求平移后图象顶点E的坐标;

②直接写出此二次函数的图象在A,B两点之间(含A,B两点)的曲线部分在平移过程中所扫过的面积.

【答案】(1)y=﹣x2+4;(2)E(5,9);30.

【解析】

(1)待定系数法即可解题,

(2)①求出直线DA的解析式,根据顶点E在直线DA上,设出E的坐标,带入即可求解;②AB扫过的面积是平行四边形ABGE,根据S四边形ABGE=S矩形IOKH﹣S△AOB﹣S△AEI﹣S△EHG﹣S△GBK,求出点B(2,0),G(7,5),A(0,4),E(5,9),根据坐标几何含义即可解题.

解:(1)∵A(0,4),B(2,0),C(﹣2,0)

二次函数的图象的顶点为A(0,4),

设二次函数表达式为y=ax2+4,

B(2,0)代入,得4a+4=0,

解得,a=﹣1,

二次函数表达式y=﹣x2+4;

(2)①设直线DA:y=kx+b(k≠0),

A(0,4),D(﹣4,0)代入,得

解得,

直线DA:y=x+4,

由题意可知,平移后的抛物线的顶点E在直线DA上,

设顶点E(m,m+4),

平移后的抛物线表达式为y=﹣(x﹣m)2+m+4,

平移后的抛物线过点B(2,0),

将其代入得,﹣(2﹣m)2+m+4=0,

解得,m1=5,m2=0(不合题意,舍去),

顶点E(5,9),

如图,连接AB,过点BBL∥AD交平移后的抛物线于点G,连结EG,

四边形ABGE的面积就是图象A,B两点间的部分扫过的面积,

过点GGK⊥x轴于点K,过点EEI⊥y轴于点I,直线EI,GK交于点H.

由点A(0,4)平移至点E(5,9),可知点B先向右平移5个单位,再向上平移5个单位至点G.

∵B(2,0),∴G(7,5),

∴GK=5,OB=2,OK=7,

∴BK=OK﹣OB=7﹣2=5,

∵A(0,4),E(5,9),

∴AI=9﹣4=5,EI=5,

∴EH=7﹣5=2,HG=9﹣5=4,

∴S四边形ABGE=S矩形IOKH﹣S△AOB﹣S△AEI﹣S△EHG﹣S△GBK

=7×9﹣×2×4﹣×5×5﹣×2×4﹣×5×5

=63﹣8﹣25

=30

答:图象A,B两点间的部分扫过的面积为30.

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分组

频数

频率

19.5~29.5

29.5~39.5

39.5~49.5

49.5~59.5

合计

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