Question

已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD于F，交BC于E．求证：
（1﹚AB=BE； 
（2﹚∠CAE=

1

2

∠ABC；  
（3﹚AD=CE；
（4﹚CD+CE=AB．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）BD平分∠ABC，AE⊥BD，BF为公共边，可证得△ABF≌△EBF，可证得结论；
（2）∠BAC=90°可得∠CAE+∠BAF=90°，而∠BAF+∠ABF=90°，所以∠CAE=

1

2

∠ABC；
（3）连接DE，则可证得△ABD≌△EBD，所以AD=DE，且∠DEC=90°，AB=AC，所以∠C=45°，所以CE=DE，所以可得AD=CE；
（4）由（3）可得AD=CE，所以CD+AD=CD+CE=AC=AB．

解答：证明：（1）∵BD平分∠ABC，AE⊥BD，
∴∠ABF=∠EBF，∠AFB=∠EFB=90°，
在△ABF和△EBF中，

∠ABF=∠EBF ∠AFB=∠EFB BF=BF

，
∴△ABF≌△EBF（AAS），
∴AB=BE；
（2）∵∠BAC=90°，
∴∠CAE+∠BAF=90°，而∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠CAE=∠ABF=

1

2

∠ABC；
（3）连接DE，

在△ABD和△EBD中

AB=BE ∠ABF=∠EBF BD=BD

，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴AD=DE，∠DEC=∠BAC=90°，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴CE=DE，
∴AD=CE；
（4）由（3）可得AD=CE，
所以CD+AD=CD+CE=AC=AB．

点评：本题主要考查三角形全等的判定和性质，注意观察所求线段或角之间的关系，找到所在的两个三角形，证明全等即可解决．