Question

如图ABCD是一个正方形花园．E、F是它的两个门且分别是AD、CD的中点，要修两条路BE和AF
1）如图a，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
2）如图b，若点E、F不是正方形ABCD的边的中点但满足DE=CF，那么这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？

Answer 1

考点：全等三角形的应用,正方形的性质

专题：

分析：（1）这条路等长，位置关系是垂直，根据正方形的性质证明△ADF≌△BAE，所以可得BE=AF，进而证明BE⊥AF；
（2）这条路等长，位置关系是垂直，根据（1）的思路证明△ADF≌△BAE即可．

解答：1）解：这条路等长，位置关系是垂直，
理由如下：
∵四边形ABCD是一个正方形，
∴AB=AD=CD，∠D=∠BAE=90°，
∵E、F分别是AD、CD的中点，
∴AE=DF，
在△ADF和△BAE中，

AD=AB ∠D=∠BAE DF=AE

，
∴△ADF≌△BAE，
∴BE=AF，∠ABE=∠FAD，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠FAD+∠AEB=90°，
∴BE⊥AF．
故BE=AF，BE⊥AF；
2）这条路等长，位置关系是垂直，
理由如下：
∵四边形ABCD是一个正方形，
∴AB=AD=CD，∠D=∠BAE=90°，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
在△ADF和△BAE中，

AD=AB ∠D=∠BAE DF=AE

，
∴△ADF≌△BAE，
∴BE=AF，∠ABE=∠FAD，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠FAD+∠AEB=90°，
∴BE⊥AF．
故BE=AF，BE⊥AF．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及垂直的判定，属基础题．