Question

●计算
当a=6，b=4时，

a+b

2

与

ab

的大小关系是

 

．
当a=5，b=5时，

a+b

2

与

ab

的大小关系是

 

．
●探究
如图所示，△ABC为圆O的内接三角形，AB为直径，点C为圆O上一动点（不与点A、B重合），过C作CD⊥AB于D，设AD=a，BD=b．
①则线段OC=

 

，OD=

 

（分别用a，b表示）；
②则OC与CD表达式之间存在的关系是

 

（用含a，b的式子表示）．
●归纳
根据上面的观察、探究，则

a+b

2

与

ab

的大小关系是：

 

．
●应用
要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：计算：把a和b的值代入计算即可得到

a+b

2

与

ab

的大小关系；
探究：易得OC=

a+b

2

，再通过证明△ACD∽△CBD，利用相似比得CD=

ab

，根据直角边与斜边的关系得OC≥CD（当C点为半圆AB的中点时取等号），所以

a+b

2

≥

ab

；
归纳：利用上面的计算和证明的结果可推出

a+b

2

≥

ab

（a=b时取等号）；
应用：设长方形的两边分别为a、b，则ab=1，利用

a+b

2

≥

ab

得

a+b

2

≥1，即a+b≥1，所以2（a+b）≥2，于是可得镜框周长的最小值．

解答：解：计算：
当a=6，b=4时，

a+b

2

=5，

ab

=

24

，由于

25

＞

24

，则

a+b

2

＞

ab

；
当a=5，b=5时，

a+b

2

=5，

ab

=

25

=5，所以

a+b

2

=

ab

；
探究：
∵AB为直径，AB=AD+BD=a+b，
∴∠ACD=90°，OC=

a+b

2

，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠CDB，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴

CD

BD

=

AD

CD

，即

CD

b

=

a

CD

，
∴CD=

ab

，
∵OC≥CD（当C点为半圆AB的中点时取等号），
∴

a+b

2

≥

ab

；
归纳：
通过代数计算和几何证明可得

a+b

2

≥

ab

；
应用：
设长方形的两边分别为a、b，则ab=1，
∵

a+b

2

≥

ab

，
∴

a+b

2

≥1，即a+b≥1，
∴2（a+b）≥2，
∴镜框周长的最小值为2．
故答案为

a+b

2

＞

ab

，

a+b

2

，

ab

，

a+b

2

=

ab

；

a+b

2

≥

ab

；

a+b

2

≥

ab

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、相似三角形的判定与性质；体会由于几何的方法比较代数式的大小．