Question

3．已知：平行四边形ABCD中，AC⊥CD，∠BAD=α（90°＜α＜180°）点E在射线CB上，点F在射线DC上，且∠EAF=∠B．
（1）当∠BAD=135°时，若点E在线段CB上，点F在线段DC上（如图1），线段AE与AF的数量关系为$\sqrt{2}$AE=AF；
（2）当∠BAD=120°时，若点E在线段CB上，点F在线段DC上（如图2），探究AE与AF的数量关系；
（3）若点E在线段CB上，点F在线段DC上，直接写出$\frac{AE}{AF}$的值（用含α的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）此题要通过相似三角形求解；根据∠EAF=∠CAD=45°，可证得∠EAC=∠FAD，而∠ACB=∠D=45°，即可得△AEC∽△AFD，根据AC、AD的比例关系，即可得线段AE与AF的数量关系；
（2）按照（1）的思路，此题要构造相似三角形来求解；取BC的中点G，连接AG；首先通过证△AGC∽△AFD来得到AE与AF的数量关系；
（3）延长AE交DC的延长线于点G，连接EF，首先证明△AGF∽△CGE，进而得出cos∠EAF=$\frac{AE}{AF}$，即可得出答案．

解答 解：（1）证明：∵∠BAD=135°，∠BAC=90°，
∴∠CAD=45°，即△ABC、△ADC都是等腰直角三角形；
∴AD=$\sqrt{2}$AC，且∠D=∠ACB=45°；
又∵∠EAC=∠DAF=45°-∠FAC，
∴△AEC∽△AFD，
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AC}{AD}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴$\sqrt{2}$AE=AF；
故答案为：$\sqrt{2}$AE=AF；

（2）2AE=AF，
理由如下：
如图2，取BC的中点G，连接AG；
易知：∠DAC=∠BCA=30°，∠B=∠D=60°；
在Rt△ABC中，G是斜边BC的中点，则：
∠AGE=60°，AD=BC=2AG；
∵∠GAD=∠AGE=60°=∠EAF，
∴∠EAG=∠FAD=60°-∠GAF；
又∵∠AGE=∠D=60°，
∴△AGE∽△ADF，
则$\frac{AG}{AD}$=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{1}{2}$，
即2AE=AF；

（3）如图3，延长AE交DC的延长线于点G，连接EF，
在平行四边形ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠B=∠1，∠B+∠BAD=180°，
∵∠B=∠EAF，∠EAF=∠1，
又∵∠G=∠G，
∴△AGF∽△CGE，
∴$\frac{AG}{CG}$=$\frac{GF}{GE}$，
∵∠G=∠G，
∴△ACG∽△FEG，
∴∠ACG=∠FEG，
∵AC⊥CD，
∴∠ACG=90°，
∴∠FEG=90°，
∴∠3=90°，
在Rt△AEF中，cos∠EAF=$\frac{AE}{AF}$，
∵∠EAF=∠B，
∵∠B+∠BAD=180°，∠BAD=α，
∴∠EAF=180°-α，
∴$\frac{AE}{AF}$=cos（180°-α）．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理、直角三角形性质的综合应用，同时还涉及到分类讨论的数学思想，难度较大．