【题目】如图，在平面直角坐标系内，抛物线
与x轴交于点A，C（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，顶点为D.点Q为线段BC的三等分点（靠近点C）.
（1）点M为抛物线对称轴上一点，点E为对称轴右侧抛物线上的点且位于第一象限，当
的周长最小时，求
面积的最大值；
（2）在（1）的条件下，当的面积最大时，过点E作
轴，垂足为N，将线段CN绕点C顺时针旋转90°得到点N，再将点N向上平移
个单位长度.得到点P，点G在抛物线的对称轴上，请问在平面直角坐标系内是否存在一点H，使点D，P，G，H构成菱形.若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）
，
，
【解析】
（1）连接QA交抛物线对称轴于M，此时△MQC周长最小，可求出M（1，
），再求出直线CM解析式y=-
x+1，设点E（t，-t2+2t+3），根据S△ECM=
ES（C横坐标-M横坐标）可得出S△ECM=-（t-
）2+，即S△CME最大值=；
（2）根据题意可求得P（3，2），利用两点间距离公式或勾股定理得DP=2
，由菱形性质得PH∥DG∥y轴，PH=DP=2，分两种情况：①点H在点P上方；②点H在点P下方．
（1）令y=0，得-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），C（3，0），
令x=0，得y=3，
∴B（0，3），
如图1，过Q作QF⊥x轴于F，
∵QF∥OB，
∴△CQF∽△CBO，
∴
∵点Q为线段BC的三等分点（靠近点C），
∴
∴
，
∴QF=CF=1，
∴Q（2，1），
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4），抛物线对称轴x=1
连接AQ交抛物线对称轴于M，则M（1，），此时△MQC周长最小．
设直线CM解析式为y=kx+b，则
span>，解得：
；
∴y=-x+1，
设E（t，-t2+2t+3）为抛物线对称轴右侧且位于第一象限内的点，过E作EN⊥x轴于N，EN交CM于S，
则，S（t，-t+1），
∴ES=-t2+2t+3-（-t+1）=-t2+
t+2，
∴S△CME＝×2ES=-t2+t+2=-（t-）2+，
∵-1＜0，
∴当t=时，S△CME最大值=，
（2）存在．如图2，由（1）知CN=OC-ON=3-=
，由旋转得CN′=CN=，CN′⊥x轴，
由题意得CP⊥x轴，CP=CN′+N′P=2，
∴P（3，2）
∴DP=
，
∵四边形DPHG是菱形，
∴DG=PH=DP=2，PH∥DG，
∴H（3，2-2），
如图3，
∵四边形DPHG是菱形，
∴DG=PH=DP=2，PH∥DG，
∴H（3，2+2）．
如图4，四边形DPGH是菱形，P与H关于抛物线对称轴对称，
∴H（-1，2）．
如图5，过点P作PG⊥直线x=1于G，作DH⊥直线x=1，过P作PH⊥DH于H，
∵PH=DG=DH=PG=2，∠PGD=90°
∴四边形DPGH是菱形，
∴H（3，4）
综上所述，点H的坐标为（3，2-2）或（3，2+2）或（-1，2）或（3，4）．
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【题目】一位淘宝店主准备购进甲、乙两种服装进行销售，若一件甲种服装的进价比一件乙种服装的进价多
元，用
元购进甲种服装的数是用
元购进乙种服装数的
倍．
（1）求每件甲种服装和乙种服装的进价分别是多少元？
（2）该淘宝店甲种服装每件售价
元，乙种服装每件售价
元，店主根据买家需求，决定向这家服装厂购进一批服装，且购进乙种服装的数比购进甲种服装的数的倍还多
件，若本次购进的两种服装全部售出后，总利润多于
元，求该淘宝店本次购进甲种服装至少是多少件？
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【题目】在一个不透明的口袋中装有5个红球、3个白球，这些球除颜色外其他都相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出两个球，摸到的两个球都是红球的概率是_____．
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【题目】如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中点，弦CG⊥AB于点D，交AE于点F，过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点P，连接BE
（1）求证：PC∥AE；
（2）若sin∠P＝
，CF＝5，求BE的长．
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【题目】小明和小李准备七月初到重庆或长沙去旅游，为了了解这两个城市哪个更热，他们查阅资料，收集了两个城市2018年七月前两周最高温度的记录，如下表
日期（七月） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
重庆最高温度/℃ | 33 | 36 | 34 | 31 | 31 | 30 | 30 | 33 | 34 | 36 | 37 | 35 | 37 | 37 |
长沙最高温度/℃ | 29 | 34 | 35 | 35 | 36 | 29 | 31 | 31 | 34 | 35 | 35 | 31 | 35 | 35 |
根据上表，他们将两个城市的最高温度分别绘制了如下的频数分布直方图和统计表，并对数据进行了整理
最高温度/℃ | 天数 | ||||||
28≤x＜30 | 2 | ||||||
30≤x＜32 | a | ||||||
32≤x＜34 | 0 | ||||||
34≤x＜36 | 8 | ||||||
36≤x＜38 | 1 | ||||||
平均数/℃ | 中位数/℃ | 众数/℃ | 34℃以上天数 | 30℃以下天数 | |||
重庆 | 33.9 | 34 | c | 6 | 0 | ||
长沙 | 33.2 | b | 35 | 7 | 2 | ||
回答如下问题
（1）本次调查的目的是 ；
（2）补全频数分布直方图并写出表中a，b，c的值，a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）结合以上分析，你认为七月初哪个城市更热，请写出两条支持你观点的理由．
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【题目】为提高学生身体素质，某校决定开展足球、篮球、排球、兵乓球等四项课外体育活动，要求全员参与，并且每名学生只能选择其中一项.为了解选择各种体育活动项目的学生人数，该校随机抽取了部分学生进行调查，并绘制出如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）直接写出这次抽样调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）若该学校总人数是1500人，请估计选择篮球项目的学生约有多少人？
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【题目】如图，已知矩形ABCD，E，F分别是边AB，CD的中点，M，N分别是边AD，AB上两点，将△AMN沿MN对折，使点A落在点E上．若AB＝a，BC＝b，且N是FB的中点，则
的值为____．
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【题目】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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【题目】某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：
20 | 21 | 19 | 16 | 27 | 18 | 31 | 29 | 21 | 22 |
25 | 20 | 19 | 22 | 35 | 33 | 19 | 17 | 18 | 29 |
18 | 35 | 22 | 15 | 18 | 18 | 31 | 31 | 19 | 22 |
整理上面数据，得到条形统计图：
样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：
统计量 | 平均数 | 众数 | 中位数 |
数值 | 23 | m | 21 |
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上表中众数m的值为 ；
（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据 来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）
（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．
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