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【题目】如图,在△ABC中,ABAC,以边AB为直径的O交边BC于点D,交边AC于点E.过D点作DFAC于点F

1)求证:DFO的切线;

2)求证:CFEF

3)延长FD交边AB的延长线于点G,若EF3BG9时,求O的半径及CD的长.

【答案】1)见解析;(2)见解析;(3O的半径是CD=3

【解析】

1)首先连接OD,通过等量互换,得出ODAC,进而得出DFOD,即可得证;

2)首先根据圆内接四边形的性质得出CED=ABC,进而得出∠CED=CCD=DE,然后根据等腰三角形的性质即可得出CF=EF

3)首先根据圆和等腰三角形的性质得出CD=BD,然后根据平行判定△GOD∽△GAF,利用相似成比例构建方程即可得出O的半径,利用△CED∽△CBA,即可得出CD.

1)证明:如图1,连接OD

AB=AC

∴∠ABC=C

OB=OD

∴∠ABC=ODB

∴∠C=ODB

ODAC

DFAC

DFOD

DFO的切线;

2)证明:如图2,连接DE

∵四边形AEDB为圆内接四边形,

∴∠CED=ABC

∵∠ABC=C

∴∠CED=C

CD=DE

DFCE

CF=EF

3)解:如图3,连接AD

ABO的直径,

∴∠ADB=90°,

AB=AC

CD=BD

ODAC

∴△GOD∽△GAF

∴设O的半径是r,则AB=AC=2r

AF=2r3OG=9+rAG=9+2r

r=

O的半径是

AC=AB=9

∵∠CED=ABC,∠ECD=ACB

∴△CED∽△CBA

CD=3

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