【题目】已知正方形ABCD，过点B有一条直线1与正方形ABCD的对角线AC所在直线相交于点G，过点C、A分别作直线1的垂线段CE、AF于点E、F，对角线AC、BD相交于点O，连接OE、OF．
（1）如图1，猜测OE、OF有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）若正方形边长为10．
①若直线1在如图1的位置，当
时，求EG的长；
②若直线1在如图2的位置，当
时，请直接写出EG的长．
【答案】（1）OE＝OF，OE⊥OF．理由见解析；（2）①EG＝
；②EG＝2
．
【解析】
（1）根据题意设OB交AF于J．证明△AFB≌△BEC（AAS），可得结论OE=OF，OE⊥OF；
（2）①根据题意作OH⊥BE于H．想办法证明EH=EC=FH=OH，设EC=a，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出a，再证明EG=GH即可解决问题；
②根据题意作OH⊥BE于H．首先证明OH-EH=HF=2EC，设EC=m，在Rt△BCE中，利用勾股定理求出m，再证明EG=EH即可解决问题．
解：（1）结论：OE＝OF，OE⊥OF．
理由：如图1中，设OB交AF于J．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，OB＝OC＝OD＝OA，∠ABC＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵CE⊥BE，AF⊥BF，
∴∠CEB＝∠AFB＝90°，
∴∠ABF+∠CBE＝90°，∠CBE+∠ECB＝90°，
∴∠ABF＝∠ECB，
∴△AFB≌△BEC（AAS），
∴CE＝BF，
∵EC⊥BE，AF⊥BE，
∴EC∥AF，
∴∠ECO＝∠OAF，
∵∠OAF+∠AJO＝90°，∠BJF+∠OBF＝90°，∠AJO＝∠BJF，
∴∠OAF＝∠OBF＝∠OCE，
∴△ECO≌△FBO（SAS），
∴OE＝OF，∠EOC＝∠FOB，
∴∠EOF＝∠COB＝90°，
∴OE⊥OF．
（2）①如图1中，作OH⊥BE于H．
∵OE＝OF，∠EOF＝90°，
∴EH＝FH，
∴OH＝EH＝FH，
∴OE＝
EH，
∵OE＝CE，
∴EC＝FH＝BF，
设EC＝a，则BE＝3a，
在Rt△BCE中，∵BC2＝CE2+BE2，
∴10a2＝100，
∴a＝，
∴EC＝EH＝，
∵∠CEG＝∠OHG＝90°，∠EGC＝OGH，EC＝OH，
∴△CEG≌△OHG（AAS），
∴EG＝GH＝
EH＝．
②如图2中，作OH⊥BE于H．
∵OE＝OF，∠EOF＝90°，
∴EH＝FH，
∴OH＝EH＝FH，
∴OE＝EH，
∵OE＝2CE，
∴EH＝OH＝FH＝2CE，
∵∠AFB＝∠BEC＝∠ABC＝90°，
∴∠ABF+∠CBE＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠ABF＝∠BCE，
∵AB＝BC，
∴△BEC≌△AFB（AAS），
∴EC＝BF，
∴BF＝BH，设EC＝m，则BE＝3m，
在Rt△BCE中，∵BC2＝CE2+BE2，
∴10m2＝100，
∴m＝，
∴EC＝，EH＝2，
∵CE⊥OH，
∴△GEC∽△GHO，
∴
＝
＝，
∴EG＝GH＝2．
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【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
（1）求证：OP∥BC；
（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．
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【题目】商场某种新商品每件进价是
，在试销期间发现，当每件商品售价为
元时，每天可销售
件，当每件商品售价高于元时，每涨价
元，日销售量就减少件.据此规律，请回答：
（1）当每件商品售价定为
元时，每天可销售多少件商品，商场获得的日盈利是多少？
（2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到
元？（提示：盈利
售价
进价）
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【题目】如图，Rt△AOB的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO=90°，反比例函数y=
（x>0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，点C的坐标为(
，1)，
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接CD，求四边形OCDB的面积．
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【题目】为了弘扬传统文化，某校组织八年级全体学生参加“恰同学少年，品诗词美韵”的古诗词比赛．比赛结束后，学校随机抽取的部分学生成绩作为样本，并进行整理后分成下面5组，
分
的小组称为“诗词少年”组，
分
的小组称为“诗词居士”组，
分
的小组称为“诗词圣手”组，
分
的小组称为“诗词达人”组，
分
的小组称为“诗词泰斗”组；下面是将整理的样本绘制的不完整的频数分布直方图，请结合提供的信息解答下列问题：
(1)若“诗词泰斗”组成绩的频率12.5%，求出样本容量，补全频数分布直方图；
(2)以各组组中值代表本组的选手的平均成绩，计算样本中不含“诗词圣手”组的其他四组学生的平均成绩；
(3)学校决定对成绩进人“诗词圣手”、“诗词达人”、“诗词泰斗“组的学生进行奖励，若八年级共有240名学生，请通过计算推断，大约有多少名学生获奖．
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【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以边AB为直径的⊙O交边BC于点D，交边AC于点E．过D点作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求证：CF＝EF；
（3）延长FD交边AB的延长线于点G，若EF＝3，BG＝9时，求⊙O的半径及CD的长．
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【题目】如图，已知顶点为D的抛物线
与x轴交于A(－1，0)，C(3，0)两点，与y轴交于B点．
(1)求该抛物线的解析式及点D坐标；
(2)若点Q是该抛物线的对称轴上的一个动点，当AQ＋QB最小时，直接写出直线AQ的函数解析式；
(3)若点P为抛物上的一个动点，且点P在x轴上方，过P作PK垂直x轴于点K，是否存在点P使得A,K,P三点形成的三角形与△DBC相似?如存在，求出点P的坐标，如不存在，请说明理由．
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【题目】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，且∠B=45°，AD=DC=1，点M为边BC上一动点，联结AM并延长交射线DC于点F，作∠FAE=45°交射线BC于点E、交边DCN于点N，联结EF．
（1）当CM：CB=1：4时，求CF的长．
（2）设CM=x，CE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．
（3）当△ABM∽△EFN时，求CM的长．
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【题目】兴隆湖是成都天府新区著名的生态绿地工程．在一次户外综合实践活动中，小明同学所在的兴趣小组用无人机航拍测量云图广场A与南山码头B的直线距离．由于无人机控制距离有限，为了安全，不能直接测量，他们采用如下方法：如图，小明在云图广场A的正上方点C处测得南山码头B的俯角α＝17.09°；接着无人机往南山码头B方向水平飞行0.9千米到达点D处，测得此时南山码头B的俯角β＝45°．已知AC⊥AB，CD∥AB，请根据测量数据计算A，B两地的距离．（结果精确到0.1km，参考数据：sinα≈0.29，tanα≈0.31，sinβ≈0.71）
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