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【题目】如图1ADBD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线,过点AAEAD,交BD的延长线于点E.

1)求证:∠EC

2)如图2,如果AEAB,且BDDE23,求cosABC的值;

3)如果∠ABC是锐角,且ABCADE相似,求∠ABC的度数,并直接写出的值.

【答案】1)见解析;(2cosABC的值为23;(3)∠ABC30°或∠ABC45°,的值

【解析】

1)由AEAD,得到∠DAE90°,∠E90°-∠ADE,再由AD平分∠BAC,得到∠ABDBAC,即可解答

2)延长ADBC于点F,得出,再利用三角函数即可即可

3)根据题意得出∠ABC=∠EC,继而可得∠ABC30°,∠ABC45°,即可解答

证明:∵AEAD

∴∠DAE90°,∠E90°-∠ADE.

AD平分∠BAC,∴∠BADBAC,同理∠ABDBAC

又∵∠ADE=∠BAD+∠ABD,∠BAC+∠ABC180°-∠C

∴∠ADE(∠BAC+∠BAC180°-∠C.

∴∠E90°180°-∠CC

解:延长ADBC于点F.

AEAB,∴∠ABE=∠E.

BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠E.

AE BC.

∴∠AFB=∠FAE90°

又∵BDDE23

cosABC

cosABC的值为23.

3)解:△ABC与△ADE相似,且∠DAE90°

∴△ABC中必有一个内角等于90°.

ABC是锐角,

∴∠ABC≠90°.

若∠BAC=∠DAE90°

∵∠EC,∴∠ABC=∠EC

∵∠ABC+∠C90°,∴∠ABC30°.这时

综上所述,∠ABC30°或∠ABC45°的值

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.(   

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2)(类比应用)

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