【题目】已知二次函数:.
(1)求证:二次函数的图象与x轴有两个交点;
(2)当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且a为负整数时,求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象(不用列表,只要求用其与x轴的两个交点A,B(A在B的左侧),与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象,同时标出A,B,C,D的位置);
(3)在(2)的条件下,二次函数的图象上是否存在一点P使?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2),,函数图象如图所示见解析;(3)存在这样的点P,点P的坐标为或.
【解析】
(1)1)将解析式右边因式分解得抛物线与x轴的交点为(2,0)、(,0),结合a<0即可得证;
(2)根据题意求出,再求出函数与x轴的交点,即可作图;
(3)根据题意作出图像,根据题意分两种情况讨论:①当点P在直线AC上方时,记直线PC与x轴的交点为E,根据求出,因此,求出,则可求出求得直线CE解析式为,再联立两直线即可求出P点坐标;②当点P在直线AC下方时, 同理求出P的坐标.
(1)∵,且,
∴抛物线与x轴的交点为、,
则二次函数的图象与x轴有两个交点;
(2)∵两个交点的横坐标均为整数,且a为负整数,
∴,
则抛物线与x轴的交点A的坐标为、B的坐标为,
∴抛物线解析式为
,
当时,,即,
函数图象如图1所示:
(3)存在这样的点P,
∵,
∴,
如图2,当点P在直线AC上方时,记直线PC与x轴的交点为E,
∵,
∴,,
则,
∴,
则,
求得直线CE解析式为,
联立,
解得或,
∴;
如图3,当点P在直线AC下方时,记直线PC与x轴的交点为F,
∵,,
∴,
则,
∴,
求得直线PC解析式为,
联立,
解得:或,
∴,
综上,点P的坐标为或.
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【题目】如图1,AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线,过点A作AE上AD,交BD的延长线于点E.
(1)求证:∠E=∠C;
(2)如图2,如果AE=AB,且BD:DE=2:3,求cos∠ABC的值;
(3)如果∠ABC是锐角,且△ABC与△ADE相似,求∠ABC的度数,并直接写出的值.
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【题目】随着技术的发展,人们对各类产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售第一款产品,根据市场分析,该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第(为正整数)个销售周期每台的销售价格为元,与之间满足如图所示的一次函数关系.
(1)求与之间的关系式;
(2)设该产品在第个销售周期的销售数量为(万台),与的关系可用来描述.根据以上信息,试问:哪个销售周期的销售收入最大?此时该产品每台的销售价格是多少元?
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【题目】综合实践课上,某兴趣小组同学用航拍无人机进行测高实践,如图为实践时绘制的截面图.无人机从地面点垂直起飞到达点处,测得学校1号楼顶部的俯角为,测得2号楼顶部的俯角为,此时航拍无人机的高度为50米.已知1号楼的高度为20米,且和分别垂直地面于点和,为的中点,求2号楼的高度(结果保留根号).
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【题目】已知平面图形,点、是上任意两点,我们把线段的长度的最大值称为平面图形的“宽距”.例如,正方形的宽距等于它的对角线的长度.
(1)写出下列图形的宽距:
①半径为的圆:________;
②如图,上方是半径为的半圆,下方是正方形的三条边的“窗户形“:________;
(2)如图,在平面直角坐标系中,已知点、,是坐标平面内的点,连接、、所形成的图形为,记的宽距为.
①若,用直尺和圆规画出点所在的区域并求它的面积(所在区域用阴影表示);
②若点在⊙上运动,⊙的半径为,圆心在过点且与轴垂直的直线上.对于⊙上任意点,都有,直接写出圆心的横坐标的取值范围.
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【题目】如果抛物线y=-x2+bx+c经过A(0,-2),B(-1,1)两点,那么此抛物线经过
A. 第一、二、三、四象限 B. 第一、二、三象限
C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限
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【题目】如图,点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA(不包括端点)上运动,且满足,.
(1)求证:;
(2)试判断四边形EFGH的形状,并说明理由.
(3)请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系,并说明理由.
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【题目】如图,在ABCD中,AB=6,BC=10,AB⊥AC,点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动,同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动,当点P到达点C时,点Q随之停止运动,设点P运动的路程为x,y=PQ2,下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC,DC是⊙O的两条弦,点P在AB的延长线上.已知,∠ACD=60°,∠APD=30°
(1)求证:PD是⊙O的切线;
(2)若AB=4,求图中阴影部分的面积.
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