Question

14．已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点M的坐标为（1，-2）与y轴交于点C（0，-$\frac{3}{2}$），与x轴交于A、B两点（A在B的左边）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点P是线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段BM上移动且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y₁，求y₁与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）①在（2）的条件下是否存在点P，使△PQB是PB为底的等腰三角形？若存在试求点Q的坐标；若不存在说明理由．
②在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BMF是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的表达式为y=a（x-1）²-2，将点C的坐标代入即可得出答案；
（2）先证明△MPQ∽△MBP，根据相似的性质列等式，求y₁与x的函数关系式；
（3）①假设存在满足条件的P点，根据条件△PQB是PB为底的等腰三角形，作PB的垂直平分线交BM于Q，QP=QB．求出P点和Q点坐标，；②根据△BMF是等腰三角形，只要点F使得该三角形的两边相等即可．

解答 解：（1）∵抛物线的顶点为M（1，-2）可设y=a（x-1）²-2，
由点（0，-$\frac{3}{2}$）得：a-2=-$\frac{3}{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{MN}{MB}$=$\frac{MQ}{MP}$，
即y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$；

（2）在x₂=3中，由y=0，得0=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A为（-1，0），B为（3，0）．
∵M（1，-2），
∴∠MBO=45°，MB=2$\sqrt{2}$，
∴∠MPQ=45°∠MBO=∠MPQ，
又∵∠M=∠M，
∴△MPQ∽△MBP，
∴$\frac{MP}{MB}$=$\frac{MQ}{MP}$，
∴MP²=MB•MQ，
即2²+（x-1）²=2$\sqrt{2}•$$\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_{1}$，
∴y₁=$\frac{1}{2}$（x-1）²+2，（0≤x＜3）．

（3）①存在点Q，使QP=QB，即△PQB是以PB为底的等腰三角形，
作PB的垂直平分线交BM于Q，则QP=QB．
∴∠QPB=∠MBP=45°
又∵∠MPQ=45°，
∴此时MP⊥x轴，
∴P为（1，0），
∴PB=2．
∴Q的坐标为（2，-1），
②如图，使△BMF是等腰三角形的F点有：
∵M（1，-2），B（3，0），
∴BM=2$\sqrt{2}$，
当MF=BM=2$\sqrt{2}$时，F₁（1，-2-2$\sqrt{2}$），
当MF=BF时，F₂（1，0），
当MF=BM=2$\sqrt{2}$时，F₃（1，-2+2$\sqrt{2}$），
当BF=BM=2$\sqrt{2}$时，F₄（1，2）．

点评 本题考查了二次函数的知识，是一道综合题，还考查了相似三角形的判定和性质，求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，注意对各部分知识的熟练掌握以便灵活应用．