Question

【题目】如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．

(1)求证：四边形EFDG是菱形；

(2)连接DE，交AF与O点，试探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由。

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）EG2=GFAF，理由详见解析．

【解析】

（1）依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，根据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF，即可证明四边形EFDG是菱形；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FOAF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系.

（1）∵GE∥DF，

∴∠EGF=∠DFG．

∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，

∴∠DGF=∠DFG．

∴GD=DF．

∴DG=GE=DF=EF．

∴四边形EFDG为菱形．

（2）EG2=GFAF．

证明：如图，连接DE，交AF于点O．

∵四边形EFDG为菱形，

∴GF⊥DE，OG=OF= GF．

∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，

∴△DOF∽△ADF．

∴ ，即DF2=FOAF．

∵FO=GF，DF=EG，

∴EG2=GFAF．