Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E做EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．

（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）如果AB=6，AD=8，求tan∠ADP的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠FAB=∠ABE=90°，AF∥BE，

∵EF⊥AD，

∴∠FAB=∠ABE=∠AFE=90°，

∴四边形ABEF是矩形，

∵AE平分∠BAD，AF∥BE，

∴∠FAE=∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，

∴四边形ABEF是正方形；

（2）解：过点P作PH⊥AD于H，如图所示：

∵四边形ABEF是正方形，

∴BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°，

∴AB∥PH，

∵AB=6，

∴AH=PH=3，

∵AD=8，

∴DH=AD﹣AH=8﹣3=5，

在Rt△PHD中，∠PHD=90°．

∴tan∠ADP= = ．

【解析】（1）先根据有一角为直角的平行四边形是矩形证四边形ABEF是矩形，然后再证AB=BE，可得证；
（2）过点P作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是正方形和已知，易求出DH、PH的长，再在在Rt△PHD中，利用三角函数的定义可求得答案.