Question

【题目】如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交 AD，BC 于点 E，F．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）当 EF 与 AC 满足什么条件时，四边形 AECF 是菱形?并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当EF⊥AC时，四边形 AECF 是菱形，理由见解析

【解析】

（1）连接AF，CE，证明△AOE≌△COF，得到AE=CF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论．

（1）如图，连接AF，CE，

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC

∴∠AEO=∠CFO

又∵点O为AC的中点

∴OA=OC

在△AOE和△COF中，

∵∠AEO=∠CFO，∠AOE=∠COF，OA=OC

∴△AOE≌△COF（AAS）

∴AE=CF

又∵AE∥CF

∴四边形AECF是平行四边形

（2）当EF⊥AC时，四边形 AECF 是菱形，理由如下：

∵四边形AECF是平行四边形，EF⊥AC

∴四边形 AECF 是菱形