Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴相交于A，B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点E，使得2S_△ABE=S_△ABC？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征

专题：计算题

分析：（1）把C点坐标代入得到c=-3，再根据抛物线对称轴方程求出b，从而得到抛物线解析式；
（2）先确定A、B、C点的坐标，再计算出S_△ABC=6，则S_△ABE=3，设E（x，x²-2x-3），利用三角形面积公式得到

1

2

•4•|x²-2x-3|=3，然后分别解两个一元二次方程即可得到E点坐标．

解答：解：（1）根据题意得

c=-3 - b 2 =1

，解得

b=-2 c=-3

所以抛物线解析式为y=x²-2x-3；
（2）存在．
当x=0时，y=x²-2x-3=-3，则C（0，-3），
当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则点A（-1，0），B（3，0），
所以S_△ABC=

1

2

×3×4=6，
而2S_△ABE=S_△ABC，
所以S_△ABE=3，
设E（x，x²-2x-3），
所以

1

2

•4•|x²-2x-3|=3，
即2x²-4x-9=0或2x²-4x-3=0，
解2x²-4x-9=0得x₁=

2+ 22

2

，x₂=

2- 22

2

解2x²-4x-3=0得x₁=

2+ 5

2

，x₂=

2- 5

2

，
所以满足条件的E点坐标为（

2+ 22

2

，

3

2

），（

2- 22

2

，

3

2

），（

2+ 5

2

，-

3

2

），（

2- 5

2

，-

3

2

）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．