Question

8．如图，已知点C、D是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上的两个动点，点C在点D的上方，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A、B，CA与DB相交于点P，连接AB、AD．
（1）若点D的坐标为（6，1）．
①求k的值；
②若△ACD的面积为6，求直线CD的解析式．
（2）若点C的横坐标为m，点D的纵坐标为n，直线CD与x轴相交于点E，与y轴相交于点F，探索m、n满足什么关系时，FC=CD=DE，请写出m、n的关系式并说明理由．

Answer 1

分析 （1）①把D坐标代入反比例解析式求出k的值即可；
②设C的坐标为（x，$\frac{6}{x}$），表示出OA与AC的长，由OM-OA求出AM的长，即为DP的长，以AC为底，DP为高表示出三角形ACD面积，将已知面积代入求出x的值，确定出C坐标，再由D的坐标，利用待定系数法求出直线CD解析式即可；
（2）根据C横坐标表示出纵坐标，即为AC的长，由FC=CD=DE，得到FC：FD=CN：BD=1：2，即可确定出m与n的关系式．

解答 解：（1）①把D（6，1）代入y=$\frac{k}{x}$中，得：1=$\frac{k}{6}$，
解得：k=6；
②设C坐标为（x，$\frac{6}{x}$），即OA=x，AC=$\frac{6}{x}$，
∵△ACD的面积为6，
∴$\frac{1}{2}$AC•DP=6，即$\frac{1}{2}$×$\frac{6}{x}$×（6-x）=6，
整理得：6-x=2x，
解得：x=2，即C（2，3），
设直线CD解析式为y=kx+b，
把C（2，3），D（6，1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{6k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
则直线CD解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4；
（2）把x=m代入y=$\frac{k}{x}$得：y=$\frac{k}{m}$；把y=n代入y=$\frac{k}{x}$得：x=$\frac{k}{n}$，
∴OA=m，AC=$\frac{k}{m}$，BD=$\frac{k}{n}$，DM=n，
∵FC=CD=DE，
∴FC：FD=CN：BD=1：2，
∴m：$\frac{k}{n}$=1：2，即mn=$\frac{k}{2}$，
则m、n满足mn=$\frac{k}{2}$时，FC=CD=DE．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求反比例函数解析式及一次函数解析式，三角形的面积，以及比例的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．