[题目]已知:如图1.在矩形ABCD中.AB=5.AD=.AE⊥BD.垂足为E.点F是点E关于AB的对称点.连接AF.BF．(1)AE的长为 .BE的长为 ,(2)如图2.将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α.记旋转中的△ABF为△A′BF′．①在旋转过程中.当A′F′与AE垂直于点H.如图3.设BA′所在直线交AD于点M.请求出DM的长,②在旋转过程中.设A′F′所在的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知：如图1，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AE⊥BD，垂足为E，点F是点E关于AB的对称点，连接AF，BF．

（1）AE的长为，BE的长为；

（2）如图2，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′．

①在旋转过程中，当A′F′与AE垂直于点H，如图3，设BA′所在直线交AD于点M，请求出DM的长；

②在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q，是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为以PQ为底的等腰三角形？请直接写出DQ的长．

【答案】（1）4；3；（2）①；②DQ=3-，DQ=-，DQ=-5=

【解析】

试题分析：（1）由勾股定理求得BD的长，根据三角形面积公式求出AE的长，再应用勾股定理即可求得BE的长．

（2）①先用tan∠ADB=，设出MG，表示出DG，DM，求出BG=BD-DG=-4x，再用tan∠MBD=，建立方程求出x，即可；

②分DP=DQ（考虑点Q在线段BD的延长线和点Q在线段BD上两种情况），PD=PQ两种情况求解即可．

试题解析：（1）∵AB=5，AD=，

∴由勾股定理得BD=．

∵S△ABD=AB×AD=BD×AE，

∴×5×=××AE，

∴AE=4．

∴BE==3，

（2）①作MG⊥BD，A′N⊥BD，

∴tan∠ADB=，

设MG=3x，则DG=4x，DM=5x，

∴BG=BD-DG=-4x，

∵A′F′⊥AE，AE⊥BD，A′N⊥BD，A′F′⊥BF′，

∴四边形BF′A′N是矩形，

∴A′N=BF′=3，BN=A′F′=AE=4，

∵tan∠MBD=，

∴，

∴x=，

∴DM=5x=；

②存在，理由如下：

Ⅰ、当DP=DQ时，若点Q在线段BD的延长线上时，如图1，

有∠Q=∠1，则∠2=∠1+∠Q=2∠Q．

∵∠3=∠4+∠Q，∠3=∠2，

∴∠4+∠Q=2∠Q．

∴∠4=∠Q．

∴A′Q=A′B=5．

∴F′Q=A′F′+A′Q=4+5=9．

在Rt△BF′Q中，81+9=（+DQ）2

∴DQ=3-或DQ=-3-（舍去）．

若点Q在线段BD上时，如图2，

有∠QPD=∠PQD=∠BQA′，

∵∠DPQ=∠BMQ，

∴∠BMQ=∠BQM．

∵∠BMQ=∠A′BM+∠A′，∠A′=∠CBD，

∴∠BMQ=∠A′BM+∠CBD=∠A′BQ．

∴∠BQM=∠∠A′BQ．

∴A′Q=A′B=5．

∴F′Q=A′Q-A′F′=5-4=1．

∴BQ==

∴DQ=BD-BQ=-

Ⅱ、当PD=PQ时，如图4，

有∠ADB=∠DQP=∠BQA′，

∵∠ADB=∠A′，

∴∠BQA′=∠A′．

∴BQ=A′B=5．

∴DQ=BD-BQ=-5=

综上所述，当△DPQ为等腰三角形时，DQ的长为DQ=3-，DQ=-，DQ=-5=

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