Question

3．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． 
（1）求证：CE=CF；
（2）图中哪两个三角形可以通过旋转得到？怎样进行旋转？
（3）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF；
（2）由△CEB≌△CFD可知BC与DC为对应边，从而可确定出旋转方向和旋转角；
（3）由（1）得CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°，所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=DC，∠B=∠CDF=90°．
在△CBE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠B=∠CDF}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE=CF．
（2）∵△CBE≌△CDF，∠BCD=90°，
∴△CBE可以通过△CDF逆时针旋转90°得到，△CDF可以通过△CBE顺时针旋转90°得到．
（3）解：GE=BE+GD成立．
理由是：∵由（1）得△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°．
在△ECG≌△FCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠GCE=∠GCF}\\{GC=GC}\end{array}\right.$，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．

点评 本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段，从而证出关系是不是成立．