Question

【题目】如图，在中，，以为直径的交边于点（点不与点重合），交边于点，过点作，垂足为．

（1）求证：是的切线；

（2）若，．

①求的半径；

②连接交于点，则_____．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①4；②

【解析】

（1）连接OE．根据等腰三角形的性质得到∠OEB=∠C，根据平行线的性质得到∠OEF+∠AFE=180°．根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）①连接BD，AE，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠AEB=90°，求得AE⊥BC．根据勾股定理即可得到结论；

②根据勾股定理得到，CD=1，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．

（1）连接．

∵在中，，

∴．

∵，

∴．

∴，

∴．

∴．

∵于点，

∴．

∴，

∴．

∵于点，是的半径，

∴是的切线．

（2）①连接．

∵是的直径，

∴，．

∴．

∵在中，，

∴．

∴．

∵，

∴．

在中，，

∴．

在中，，

∴．

∴AB2-AD2=BC2-CD2．

设，则．

∴，

∴．

∴．

∴．

②：∵AD=7，AB=AC=8，

∴，CD=1，

∵BE=CE=2，EF∥BD，

∴，，

∵AB=AC，AE⊥BC，

∴∠BAE=∠CAE，

∴，

∴OE⊥BD，

∴OE⊥EF，

∴OE∥CF，

∴△CFM∽△OEM，

∴，

∴

∴，

∴．

故答案为：．