Question

已知，在正方形ABCD中，⊙O与正方形的边AB、AD相切，对角线BD交⊙O与M、N两点，且MN=2

3

，求正方形ABCD的面积．

Answer 1

考点：切线的性质,正方形的性质

专题：

分析：由条件可知A、O、C三点在一条直线上，利用等腰三角形的性质可求得OM的长，即圆的半径，在Rt△APO中可求出AO，则可求得正方形对角线的长，可求得正方形的面积．

解答：解：连接AC，交BD于点E，连接OM、OE．
∵AB、AD是正方形的切线，
∴AO平分∠BAD，
∴A、O、C在一条直线上，
∴OE⊥MN，
∴ME=NE=OE=

3

，
∴OM=OP=

6

，
连接OP，则OP⊥AB，且AP=OP=

6

，
∴AO=2

3

，
∴AE=AO+OE=2

3

+

3

=3

3

，
∴AC=BD=6

3

，
∴S_{正方形ABCD}=

1

2

AC•BD=

1

2

×6

3

×6

3

=54．

点评：本题主要考查切线的性质及正方的性质，由条件得出A、O、C三点在一条直线上是解题的关键．