Question

12．已知线段AB，只用圆规找AB的中点P．
作法：
（1）以A为圆心，AB长为半径作圆；
（2）以B为圆心，AB长为半径在圆上连续截取，记截点为B₁，B₂，B₃，B₄，B₅；
（3）以B₃为圆心，BB₃长为半径画弧；以B为圆心，AB长为半径画弧，与前弧交于点C；
（4）以C为圆心，CB长为半径画弧交线段AB于点P．
结论：点P就是所求作的线段AB的中点．
（1）配合图形，理解作法，根据作图过程给予证明：点P是线段AB的中点．
（2）已知⊙O，请只用圆规把圆周四等分．（保留作图痕迹，不要求写作法）

Answer 1

分析 （1）连结B₃A，B₃C，CB，CP，易知B₃，A，B共线，记AB=r，由作图过程可知B₃B=B₃C=2r，CP=CB=r，再由△B₃CB∽△CBP可得出$\frac{{B}_{3}B}{CB}$=$\frac{CB}{BP}$，故BP=$\frac{1}{2}$r，进而可得出结论；
（2）以已知圆半径为半径在圆上连续截取，得截点A、B、C、D、E、F；分别以A、D为圆心，AC长为半径，作弧，交于点M；以A为圆心，AM为半径，在圆上连续截取，得截点A₁、D₁、A₂．由此可得出结论．

解答 （1）证明：连结B₃A，B₃C，CB，CP，易知B₃，A，B共线
记AB=r，由作图过程可知B₃B=B₃C=2r，CP=CB=r
又∵∠CBP公共，
∴△B₃CB∽△CBP，
∴$\frac{{B}_{3}B}{CB}$=$\frac{CB}{BP}$，即$\frac{2r}{r}$=$\frac{r}{BP}$，
∴BP=$\frac{1}{2}$r，即P为AB中点；

（2）作法：（1）以已知圆半径为半径在圆上连续截取，得截点A、B、C、D、E、F；
（2）分别以A、D为圆心，AC长为半径，作弧，交于点M；
（3）以A为圆心，AM为半径，在圆上连续截取，得截点A₁、D₁、A₂．
结论：A、A₁、D、A₂即圆周四等分点．

点评 本题考查的是作图-复杂作图，熟知圆的等分点的作法是解答此题的关键．