Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，动点F在边BC上，且不与点B、C重合，将△EBF沿EF折叠，得到△EB′F．

（1）当∠BEF=45°时，求证：CF=AE；
（2）当B′D=B′C时，求BF的长；
（3）求△CB′F周长的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1中，

当∠BEF=45°时，易知四边形BEB′F是正方形，

∴BF=BE，

∵AB=BC，

∴CF=AE=3．

（2）

解：如图2中，作B′N⊥BC于N，NB′的延长线交AD于M，作EG⊥MN于G，则四边形MNCD、四边形AEGM都是矩形．

∵B′D=B′C，

∴∠B′DC=∠B′CD，

∵∠ADC=∠BCD=90°，

∴∠B′DM=∠B′CN，

∵∠B′MD=∠B′NC=90°，

∴△B′MD≌△B′CN，

∴B′M=B′N=8，

∵AE=MG=3，

∴GB′=5，

在Rt△EGB′中，EG= = =12，

∵∠EB′G+∠FB′N=90°，∠FB′N+∠B′FN=90°，

∴∠EB′G=∠B′FN，∵∠EGB′=∠FNB′=90°，

∴△EGB′∽△B′NF，

∴ = ，

∴ = ，

∴BF=B′F= ．

（3）

解：如图3中，

以E为圆心EB为半径画圆，在Rt△EBC中，∠EBC=90°，EB=13，BC=16，

∴EC= =5 ，

∵△CFB′的周长=CF+FB′+CB′=BF+CF+CB′=BC+CB′=16+CB′，

∴欲求△CFB′的周长的最小值，只要求出CB′的最小值即可，

∵CB′+EB′≥EC，

∴E、B′、C共线时，CB′的值最小，CB′最小值为5 ﹣13．

∴△CFB′的周长的最小值为3+5 ．

【解析】（1）如图1中，当∠BEF=45°时，易知四边形BEB′F是正方形，推出BF=BE，由AB=BC，即可证明CF=AE=3．（2）如图2中，作B′N⊥BC于N，NB′的延长线交AD于M，作EG⊥MN于G，则四边形MNCD、四边形AEGM都是矩形．由△B′MD≌△B′CN，推出B′M=B′N=8，由AE=MG=3，推出GB′=5，在Rt△EGB′中，EG= = =12，由△EGB′∽△B′NF，推出 = ，由此即可解决问题．（3）如图3中，以E为圆心EB为半径画圆，在Rt△EBC中，∠EBC=90°，EB=13，BC=16，推出EC= =5 ，由△CFB′的周长=CF+FB′+CB′=BF+CF+CB′=BC+CB′=16+CB′，所以欲求△CFB′的周长的最小值，只要求出CB′的最小值即可，因为CB′+EB′≥EC，所以E、B′、C共线时，CB′的值最小．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对正方形的性质的理解，了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．